Як я міг виявити нормальний розподіл?

16

Що було першим виведенням нормального розподілу, чи можете ви відтворити це похідне, а також пояснити його в його історичному контексті ?

Я маю на увазі, якби людство забуло про нормальний розподіл, який найімовірніший спосіб я б його знову відкрив і що було б найімовірнішим виведенням? Я б здогадувався, що перші похідні, мабуть, стали побічним продуктом, намагаючись знайти швидкі способи обчислення основних дискретних розподілів ймовірностей, таких як біномі. Це правильно?

— статистика
джерело

2

Придумати розподіл ймовірностей не дуже складно: візьміть будь-яку позитивну інтегруючу функцію, нормалізуйте її, і таким чином у вас є щільність ймовірностей. Тепер, якщо ви хочете зробити висновок на основі правдоподібності з сімейством розподілів, логарифм щільності повинен бути простою опуклою функцією. Точніше, якщо ви хочете, щоб максимальна ймовірність мінімізувала задану функцію втрат на опуклу, то експонентність цієї втрати є відповідним вибором щільності. Похибка у квадраті призводить до нормального розподілу і може бути найпростішим прикладом випуклої втрати.

— Олів'є

1

@ Олів'є, тільки тому, що ви можете легко придумати розподіл ймовірностей, це не означає, що це корисно або що воно з’являється скрізь. Відкриття гауссового розподілу пов'язане з вирішенням реальних завдань, я б здогадався, а не просто нормалізацією функції.

— statslearner

2

Уже є низка питань та відповідей, які стосуються цієї історії, які можуть відповісти або частково відповісти на ваше запитання.

— Glen_b -Встановити Моніку

2

Розділ у Вікіпедії про історію en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History варто прочитати. Я роблю висновок, що пріоритет тут, як це часто, є питанням міжнародної суперечки. Ви можете взяти свій вибір у De Moivre, Laplace, Gauss, ...

— mdewey

2

Погляньте на це запитання тут і відповідь @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/… Я здогадуюсь, один із способів, як можна було б знову виявити нормальний розподіл, - це зробити вимірювання та зрозуміти, що існує невизначеність / помилка з вашим вимірюванням, тобто якщо ви повторите свої вимірювання знову і знову, результат не буде 100% однаковим. Тоді ви хочете кількісно оцінити невизначеність / помилку. І тоді вам знадобиться обчислення :) Також посилання на Шталь справді варто прочитати!

— Стефан

7

Я б здогадувався, що перші похідні, мабуть, стали побічним продуктом, намагаючись знайти швидкі способи обчислення основних дискретних розподілів ймовірностей, таких як біномі. Це правильно?

Так.

Нормальна крива була математично розроблена в 1733 році ДеМоєвром як наближення до біноміального розподілу . Його документ був відкритий до 1924 року Карлом Пірсоном. Лаплас використав звичайну криву в 1783 році для опису розподілу помилок. Згодом Гаусс використав звичайну криву для аналізу астрономічних даних у 1809 році.

Джерело: НОРМАЛЬНЕ РОЗПОДІЛ

Інші джерела з історичним контекстом:

Сьогодні той факт, що нормальний розподіл є наближенням для біноміальних для великих , розглядається як особливий випадок теореми центрального граничного значення. Його можна знайти в більшості підручників і вважати елементарним. Ви можете знайти доказ у Вікіпедії . Експоненція просто відображається як $n$ після деякого розширення Тейлора характерної функції, що приносить $e^x=\lim(1+\frac{x}{n})^n$ . Іноді ви все ще знаходите в підручниках спеціальні докази для біноміалів, і це відоме яктеорема ДеМоврра-Лапласа. $-\frac{t^2}{2}$

— Бенуа Санчес
джерело

Бенуа, виведення DeMoivre не здається елементарним, чи можете ви включити його у свою відповідь? Це виведення DeMoivre - це те, що я шукаю (як побічна примітка, чи знаєте ви, чи всі результати обчислення та наближення - наприклад, наближення розмішань - вже були доступні для DeMoivre, чи це сучасна версія його доказу?)

— statslearner

1

Це сучасна версія. Я не знаю історичної деривації DeMoire. Єдина історична інформація, яку я отримав - це стаття, на яку вказували і Стефан, і я.

— Бенуа Санчес

6

Шталь ("Еволюція нормального розподілу", журнал " Математика" , 2006 р.) Стверджує, що перші історичні сліди нормального походять від азартних ігор, наближень до біноміальних розподілів (для демографії) та аналізу помилок в астрономії.

— Стефан Коласа
джерело

4

Так, але в більшості (усіх?) Тих випадках нормальний розподіл не був явним. Це трохи схоже на висновок, що Бен Франклін знав (або винайшов) рівняння Максвелла, оскільки він експериментував з електрикою.

— whuber

Чи могли б ви надати виводи цих авторів?

— statslearner

Наприклад, яку математику їм потрібно було отримати?

— statslearner

3

На історичну частину питання відповіли вже, можливо, кілька разів на цьому форумі, наприклад див . Прийняту відповідь на подібне запитання. Ні, це не було виявлено як наближення до дискретних розподілів. Сумніваюсь, навіть існувало поняття розподілу ймовірностей. Її виявили хлопці, яких сьогодні називають фізиками чи математиками, я думаю, в той час філософи природи.

Як інша цивілізація виявить нормальний розподіл - цікаве питання. Той, хто вивчає помилки та порушення будь-якого типу, знайшов би це. Сталося так, що наша цивілізація знайшла це під час вивчення небесних тіл. Я сумніваюся, що ймовірно, що інші люди розроблять статистику до фізики чи математики.

— Аксакал
джерело

2

Я також задав собі це питання, і це відео на YouTube - найкраща відповідь, яку я знайшов

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

Я не думаю, що це оригінальне виведення, але в описі відео йдеться: "Цей аргумент адаптований з роботи астронома Джона Гершеля в 1850 році і фізика Джеймса Клерка Максвелла в 1860 році".

— Себастьян
джерело

1

Особливістю нормального розподілу є теорія центральних границь. Детальніше та отримання / підтвердження дивіться на веб-сайті : https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

— elliotp
джерело

11

Це не відповідає на запитання.

— whuber

1

Тема питання: Як я міг виявити нормальний розподіл? і відповідь, безумовно, відповідає на це.

— Г. Гротендієк

1

$\propto \exp(-x^2)$ . Потім ОП продовжує запитувати "Якби людство забуло про нормальний розподіл, яким чином воно було б повторно розкрито"? Це зовсім інше питання. Я думаю, що відповідна відповідь тут така, що 1) запозичує перспективу сучасної науки 2) дає відповідь, яка відрізняється від найбільш часто зустрічається історичної відповіді, відома також як теорія центрального граничного значення.

У квантовій механіці, теорії інформації та термодинаміці ентропія кількісно визначає стан системи. У цих полях квантовий стан насправді є цілком випадковим або стохастичним. Контрастуйте це з класичною механікою. У класичній механіці стани закріплені, але наше спостереження є недосконалим через внесок сотень чи мільйонів непомічених впливаючих факторів: такий вид результату породжує CLT.

У квантовій механіці ми використовуємо ймовірність Баєса для кількісної оцінки нашої віри про стан системи. В ході цих ліній були представлені докази та налаштовано, що гауссова або нормальна випадкова величина має максимальну ентропію серед усіх випадкових змінних з кінцевим середнім або стандартним відхиленням.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

— АдамО
джерело