Чи можливо, що 3 вектори мають усі негативні попарні кореляції?

16

Враховуючи три вектори , і , чи можливо, що кореляції між і , і , і є негативними? Тобто це можливо? $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $a$ $c$ $b$ $c$

\begin{aligned} corr (a, b) < 0 \\ corr (a, c) < 0 \\ corr (b, c) < 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{corr}(a,b) < 0\\ \text{corr}(a,c) < 0 \\ \text{corr}(b,c) < 0\\ \end{align}$

correlation correlation-matrix

— Антті А
джерело

3

Негативні кореляції означають, що геометрично, що центрировані вектори взаємно складають тупі кути. У вас не повинно виникнути проблем з малюванням конфігурації трьох векторів у площині, які мають це властивість.

— whuber

Вони не можуть бути повністю негативно корельованими ( ), але в цілому може бути деяка негативна кореляція, знову ж таки межі, встановлені іншими кореляціями.

ρ = - 1

$\rho=-1$

— карафа

2

@whuber Ваш коментар, здається, суперечить відповіді Хейкі Пулкінкіна, яка стверджує, що вектори в літаку неможливі. Якщо ви стоїте поруч, слід перетворити свій коментар у відповідь.

— РМ

2

@RM Не існує суперечності між Уабером та Хейкі. Це питання задає матрицю даних розміром . Зазвичай ми б говорили про точок даних у 3 вимірах, але це Q говорить про три "вектори" в вимірах. Хейкі каже, що всі негативні кореляції не можуть відбутися, якщо (дійсно, дві точки після центрування завжди ідеально співвідносяться, тому кореляції повинні бути і не можуть бути всі ). Вюбер каже, що 3 вектори в розмірах можуть ефективно лежати у двовимірному підпросторі (тобто

- ранг 2) і пропонує уявити логотип Mercedes.

X

$X$

n \times 3

$n\times 3$

n

$n$

n

$n$

n = 2

$n=2$

\pm 1

$\pm 1$

- 1

$-1$

n

$n$

X

$X$

— Амеба каже, що повернеться до Моніки

1

Пов'язане: Пов'язується для співвідношення трьох випадкових величин . (cc, @amoeba)

— gung - Відновіть Моніку

19

Це можливо, якщо розмір вектора становить 3 і більше. Наприклад

\begin{aligned} a & = (- 1, 1, 1) \\ b & = (1, - 9, - 3) \\ c & = (2, 3, - 1) \end{aligned}

$\begin{align} a &= (-1, 1, 1)\\ b &= (1, -9, -3)\\ c &= (2, 3, -1)\\ \end{align}$

Кореляції -

cor (a, b) = - 0.80... cor (a, c) = - 0.27... cor (b, c) = - 0,34 ...

$\begin{equation} \text{cor}(a,b) = -0.80...\\ \text{cor}(a,c) = -0.27...\\ \text{cor}(b,c) = -0.34... \end{equation}$

Ми можемо довести, що для векторів розміру 2 це неможливо:

\begin{aligned} cor (a, b) & < 0 \\ 2 (\sum_{i} a_{i} b_{i}) - (\sum_{i} a_{i}) (\sum_{i} b_{i}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} + a_{2}) (b_{1} b_{2}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} + a_{2}) (b_{1} b_{2}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - a_{1} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{2} b_{2} & < 0 \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} - a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} & < 0 \\ a_{1} (b_{1} - b_{2}) + a_{2} (b_{2} - b_{1}) & < 0 \\ (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) & < 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{cor}(a,b) &< 0\\[5pt] 2\Big(\sum_i a_i b_i\Big) - \Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_i b_i\Big) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_2 b_2 &< 0\\[5pt] a_1 b_1 + a_2 b_2 - a_1 b_2 + a_2 b_1 &< 0\\[5pt] a_1 (b_1-b_2) + a_2 (b_2-b_1) &< 0\\[5pt] (a_1-a_2)(b_1-b_2) &< 0 \end{align}$

Формула має сенс: якщо більший за , повинен бути більшим за щоб зробити кореляцію негативною. $a_1$ $a_2$ $b_1$ $b_1$

Аналогічно для кореляцій між (a, c) та (b, c) ми отримуємо

(a_{1} - a_{2}) (c_{1} - c_{2}) < 0 (b_{1} - b_{2}) (c_{1} - c_{2}) < 0

$\begin{equation} (a_1-a_2)(c_1-c_2) < 0\\ (b_1-b_2)(c_1-c_2) < 0\\ \end{equation}$

Ясна річ, що всі ці три формули не можуть утримуватися в один і той же час.

— Хейкі Пулкінен
джерело

3

Ще один приклад чогось несподіваного, що трапляється лише в розмірі три чи вище.

— п -

1

З векторами розміру кореляції зазвичай (пряма через дві точки), і ви не можете мати три кореляції з трьома векторами будь-якого розміру

2

$2$

\pm 1

$\pm1$

- 1

$-1$

— Генрі

9

Так вони можуть.

Припустимо, у вас є багатовимірний нормальний розподіл . Єдине обмеження на - це те, що воно повинно бути позитивним напіввизначеним. $X\in R^3, X\sim N(0,\Sigma)$ $\Sigma$

Тож візьмемо такий приклад $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & -0.2 & -0.2 \\ -0.2 & 1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.2 & 1 \end{pmatrix}$

Усі його власні значення позитивні (1,2, 1,2, 0,6), і ви можете створювати вектори з негативною кореляцією.

— Козоловська
джерело

7

почнемо з кореляційної матриці для 3 змінних

$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & p & q \\ p & 1 & r \\ q & r & 1 \end{pmatrix}$

негативна визначеність створює обмеження для парних кореляцій які можна записати як $p,q,r$

p q r \geq \frac{p^{2} + q^{2} + r^{2} - 1}{2}

$pqr \ge \frac{p^2+q^2+r^2-1}2$

Наприклад, якщо , значення обмежується , що примушує . З іншого боку, якщо , може бути в межах . $p=q=-1$ $r$ $2r \ge r^2+1$ $r=1$ $p=q=-\frac12$ $r$ $\frac{2 \pm \sqrt{3}}4$

Відповідаючи на цікаве подальше запитання від @amoeba: "яка найменша кореляція, яку можуть мати одночасно всі три пари?"

Нехай , Знайдіть найменший корінь , який дасть вам . Можливо, для когось це не дивно. $p=q=r=x < 0$ $2x^3-3x^2+1$ $-\frac12$

Більш сильний аргумент можна зробити, якщо одна з кореляцій, скажімо, . З того ж рівняння , ми можемо вивести, що . Тому, якщо два співвідношення дорівнюють , третім має бути . $r=-1$ $-2pq \ge p^2+q^2$ $p=-q$ $-1$ $1$

— карафафа
джерело

2

Див. Stats.stackexchange.com/questions/72790/… , серед іншого.

— whuber

2

Проста функція R для дослідження цього:

f <- function(n,trials = 10000){
  count <- 0
  for(i in 1:trials){
    a <- runif(n)
    b <- runif(n)
    c <- runif(n)
    if(cor(a,b) < 0 & cor(a,c) < 0 & cor(b,c) < 0){
      count <- count + 1
    }
  }
  count/trials
}

Як функція n, f(n)починається з 0, стає ненульовою при n = 3(з типовими значеннями близько 0,06), потім збільшується до приблизно 0,11 за n = 15, після чого, здається, стабілізується:

Таким чином, не тільки можливо, щоб усі три кореляції були негативними, це не здається надзвичайно рідкісним (принаймні, для рівномірного розподілу).

— Джон Коулман
джерело