Яка інтуїція лежить за формулою умовної ймовірності?

Формула умовної ймовірності виникнення огляду на те, що стався , є:$\text{A}$$\text{B}$

$$P\left(\text{A}~\middle|~\text{B}\right)=\frac{P\left(\text{A} \cap \text{B}\right)}{P\left(\text{B}\right)}.$$

Мій підручник пояснює інтуїцію, що стоїть за цим, з точки зору діаграми Венна.

Зважаючи на те, що стався, єдиний спосіб виникнення - це подія потрапити в перетин та .$\text{B}$$\text{A}$$\text{A}$$\text{B}$

У цьому випадку, чи не буде ймовірність просто дорівнює ймовірності перетину , оскільки це єдиний спосіб, коли подія могла статися? Що я пропускаю?$P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$$\text{A}$$\text{B}$

Дана інтуїція, що B стався - з А без нього - яка ймовірність A? Тобто, ми зараз знаходимося у Всесвіті, в якому стався В - повне праве коло. У цьому колі ймовірність A - площа A, що перетинається B, поділена на площу кола.

Я б подумав про це так: я вважаю за належне, що ви розумієте інтуїцію, поки:

Зважаючи на те, що B сталося, єдиний спосіб виникнення A - це рівномірне падіння перетину A & B.

і я прокоментую друге зображення, яке ви опублікували:

1. Уявіть, що весь білий прямокутник - ваш зразок простору .$\Omega$

   Призначення ймовірності множині означає, що ви вимірюєте в деякому сенсі цю множину. Це так само, як якщо б ви вимірювали площу прямокутника, але ймовірність - це інший вид вимірювання, який має специфічні властивості (про це я більше нічого не скажу).

2. Ви знаєте, що і це трактується так:$P(\Omega) = 1$

   $\Omega$ представляє всі події, які могли статися, і щось має відбутися, тому у нас є 100% ймовірність того, що щось трапиться.

3. Аналогічно множина має ймовірність , пропорційна ймовірності простору вибірки . Графічно кажучи, ви бачите, що отже, міра (її ймовірність ) повинна бути меншою, ніж . Те ж міркування справедливо для безлічі . Цей набір можна виміряти, а його міра дорівнює .P ( A ) Ω A ⊂ Ω A P ( A ) P ( Ω ) A ∩ B P ( A ∩ B $A$$P(A)$$\Omega$$A \subset \Omega$$A$$P(A)$$P(\Omega)$$A \cap B$$P(A \cap B)$

4. Якщо зараз вам кажуть, що сталося , ви повинні думати, як ніби - ваша «нова» . Якщо ваш «новий» , то ви можете бути 100% впевнені , що все відбувається в безлічі .B Ω B Ω $B$$B$$\Omega$$B$$\Omega$$B$

   І що це означає? Це означає, що зараз у "новому" конкурсі , і вам доведеться змінити масштаби всіх імовірнісних заходів, враховуючи, що вони повинні бути виражені через "новий" пробний простір . Це проста пропорція.$P(B \mid B) =1$$B$

   Ваша інтуїція майже права, коли ви говорите:

ймовірність P (A | B) просто дорівнює ймовірності A перетину B

і "майже" пояснюється тим, що тепер ваш пробний простір змінився (зараз це ), і ви хочете відповідно змінити масштаб .P ( A ∩ B $B$$P(A \cap B)$

5. P ( A ∩ B ) $P(A \mid B)$ Ваш в новому світі , де вибіркове простір тепер . Словами ви б сказали це так (і, будь ласка, спробуйте візуалізувати його на зображенні за допомогою наборів):$P(A \cap B)$$B$

   У новому світі співвідношення між мірою і мірою повинно бути таким же, як відношення між мірою та міроюA ∩ B Ω A ∣ $B$$A\cap B$$\Omega$$A \mid B$

6. Нарешті перекладіть це математичною мовою (проста пропорція):

$$P(B):P(A \cap B) = P(\Omega):P(A \mid B)$$

а оскільки випливає, що:$P(\Omega)=1$

$$P(A \mid B)= P(A \cap B):P(B)$$

Ви побачите, що інтуїція легко думає про наступну проблему.

Припустимо, у вас є 10 кульок: 6 чорних та 4 червоних. З чорних кульок 3 - дивовижні, а з червоних кульок - лише 1. Наскільки ймовірно, що чорний куля також чудовий?

Відповідь дуже проста: це 50%, тому що у нас є 3 приголомшливих чорних кулі із загальних 6 чорних кульок.

Ось як ви зіставляєте ймовірності нашої проблеми:

• 3 кулі, які є чорними та дивовижними, відповідають$P(A \cap B)$
• 6 кульок чорного кольору відповідають$P(B)$
• ймовірність того, що куля дивовижний, коли ми ЗНАЄМО, що це чорний:$P(A\mid B)$

Для основної інтуїції формули умовної ймовірності мені завжди подобається використовувати двосторонню таблицю. Скажімо, в рік навчається 150 студентів, з них 80 жінок і 70 чоловіків, кожен з яких повинен вивчити рівно один мовний курс. Двостороння таблиця студентів, які відвідують різні курси:

        | French   German   Italian  | Total
-------- --------------------------- -------
Male    |     30       20        20  |    70
Female  |     25       15        40  |    80
-------- --------------------------- -------
Total   |     55       35        60  |   150

З огляду на те, що студент проходить курс італійської мови, яка ймовірність, що вони жінки? Ну італійський курс налічує 60 студентів, з яких 40 - жінки, які вивчають італійську мову, тому ймовірність повинна бути:

$$P(\text{F|Italian})=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$

де - це кардинальність множини , тобто кількість елементів, які вона містить. Зауважте, що нам потрібно було використовувати у чисельнику, а не просто , оскільки останній включав би всі 80 жінок, включаючи інші 40 які не вивчають італійську мову.A n ( F ∩ італійський ) n ( F $n(A)$$A$$n(\text{F} \cap \text{Italian})$$n(\text{F})$

Але якщо питання було перевернуто, яка ймовірність того, що студент пройде курс італійської мови, враховуючи, що вони жінки? Потім 40 з 80 студенток проходять курс італійської мови, тому у нас є:

$$P(\text{Italian|F})=\frac{n(\text{Italian} \cap \text{F})}{n(\text{F})}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$

Я сподіваюся, що це забезпечує інтуїцію, чому

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$

Розуміння того, чому дріб може бути записаний із ймовірністю замість кардинальності, є питанням еквівалентних дробів . Наприклад, повернемося до ймовірності того, що студентка є жінкою, враховуючи, що вона вивчає італійську мову. Всього 150 студентів, тому ймовірність того, що студент є жінкою та вивчає італійську мову - 40/150 (це "спільна" ймовірність), а ймовірність, що студент вивчає італійську мову - 60/150 (це "гранична" ймовірність ). Зауважте, що ділення спільної ймовірності на граничну ймовірність дає:

$$\frac{P(\text{F} \cap \text{Italian})}{P(\text{Italian})}=\frac{40/150}{60/150}=\frac{40}{60}=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=P(\text{F|Italian})$$

(Щоб побачити, що дроби є рівнозначними, множення чисельника та знаменника на 150 видаляє "/ 150" у кожному.)

Більш загально, якщо ваш пробний простір має кардинальність - у цьому прикладі кардинальність становила 150 - ми знаходимо цеn ( Ω $\Omega$$n(\Omega)$

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{n(A \cap B)/n(\Omega)}{n(B)/n(\Omega)}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Я би перевернув логіку. Ймовірність того, що і і :$A$$B$

1. Ймовірність сталася, і це з огляду на те, що сталося$B$$A$
2. Ті ж, але зворотні ролі для і$A$$B$

Це вам дасть

$p(A\cap B)=p(B)p(A\mid B)$

Якщо ви шукаєте негатив до вашої пропозиції, це в той час як це правда ймовірність даного міститься в ймовірності продукту, простір ви прокатка кістки в менше вихідному імовірнісний просторі - ви знаєте , напевно ти "в" , отже, ти ділишся за розміром нового простору.Б $A$$B$$B$

Діаграма Венна не представляє ймовірності, вона являє собою міру підмножини простору події. Ймовірність - це співвідношення між двома заходами; ймовірність X - це розмір "все, що становить X", поділений на розмір "усіх подій, що розглядаються". Кожен раз, коли ви обчислюєте ймовірність, вам потрібен і "простір успіху", і "простір населення". Ви не можете розраховувати ймовірність, грунтуючись лише на тому, "наскільки великий" простір успіху. Наприклад, ймовірність катання сімки з двома кістками - це кількість способів прокатки семи, поділене на загальну кількість способів прокатки двох кісток. Просто знати кількість способів катання сімки недостатньо для обчислення ймовірності. P (A | B) - відношення міри "і A, і B трапляються" простір і міра простору "В буває". Ось що "|" означає: це означає "зробити те, що відбувається після цього простору населення".

Я думаю, що найкращий спосіб подумати над цим - малювати крок за кроком.

Опишемо подію B як перекидання на справедливу штангу - це може бути легко показано, що вона має ймовірність . Тепер опишемо подію A як малювання туза зі стандартної колоди карт на 52 картки - це може бути легко показано, що вірогідність .$4$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{13}$

Давайте зараз проведемо експеримент, коли ми згортаємо штамп, а потім вибираємо карту. Отже, була б ймовірністю того, що ми намалюємо туз, враховуючи, що ми вже прокатали . Якщо ви подивитесь на зображення, це буде шлях (вгору), а потім шлях (знову вгору). 4 $P\left(A \middle| B\right)$$4$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{13}$

Інтуїтивно зрозуміло, що загальний простір ймовірностей - це те, що нам вже було дано: прокрутка . Ми можемо ігнорувати і до якого веде початковий шлях вниз, оскільки ми ДОВІЛИ . За законом множення наш загальний простір тоді .$4$$\frac{1}{13}$ 4($\frac{12}{13}$$4$$\left(\frac{1}{6}{\times}\frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6}{\times}\frac{12}{13}\right)$

Тепер яка ймовірність, що ми намалювали туза, ПОДАЛИ, що ми прокатали ? Відповідь, використовуючи шлях, - , який нам потім потрібно розділити на загальний простір. Отже, отримуємо$4$$\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13} \right)$

$$P\left(A \middle| B\right) = \frac{\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}}{\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6} {\times} \frac{12}{13}\right)}.$$

Подумайте про це підрахунками. Гранична ймовірність - скільки разів А трапилася, поділена на розмір вибірки. Спільна ймовірність A і B - скільки разів A сталося разом з B, поділеним на розмір вибірки. Умовна ймовірність A задана B - скільки разів A сталося разом з B, поділене на скільки разів сталося B, тобто лише A "всередині" B.

Ви можете знайти гарну візуальну ілюстрацію в цьому блозі , яка показує це за допомогою блоків Lego.

На момент написання інформації існує близько 10 відповідей, які, здається, всім пропускають найважливіший момент: ви по суті маєте рацію.

У такому випадку, чи не була б ймовірність P (A | B) просто дорівнює ймовірності A перетину B, оскільки це єдиний спосіб, коли подія могла відбутися?

Це, безумовно, правда. Це пояснює, чому величина, яку ми визначимо є насправді масштаб.$P(A\vert B)$$P(A \cap B)$

Що я пропускаю?

Ви пропускаєте, що ймовірність задоволення B з огляду на те, що B задоволено, повинна бути 1, оскільки це цілком певна подія, а не яка цілком може бути меншою за 1. Розділення на P ( B ) умовна ймовірність B, задана B, дорівнює 1, як очікувалося. Насправді це ще краще і робить мапу A ↦ P ( A | B ) ймовірністю - тому умовна ймовірність насправді є ймовірністю.$P(B\cap B) = P(B)$$P(B)$$A \mapsto P(A\vert B)$

Я вважаю, що більш інтуїтивно зрозуміло, коли ми маємо конкретні дані для оцінки ймовірностей.

Давайте використаємо mtcarsдані як приклад, дані виглядають приблизно так (ми використовуємо лише кількість циліндрів і тип передачі.)

> mtcars[,c("am","cyl")]
                    am cyl
Mazda RX4            1   6
Mazda RX4 Wag        1   6
Datsun 710           1   4
Hornet 4 Drive       0   6
...  
...
Ford Pantera L       1   8
Ferrari Dino         1   6
Maserati Bora        1   8
Volvo 142E           1   4

Ми можемо обчислити спільний розподіл за двома змінними, зробивши перехресну таблицю:

> prop.table(table(mtcars$cyl,mtcars$am))

          0       1
  4 0.09375 0.25000
  6 0.12500 0.09375
  8 0.37500 0.06250

Спільна ймовірність означає, що ми хочемо розглядати дві змінні одночасно. Наприклад, ми запитаємо, скільки автомобілів - 4 циліндрові та механічна коробка передач.

Тепер ми приходимо до умовної ймовірності. Я знайшов найбільш інтуїтивним способом пояснення умовної ймовірності є використання терміна фільтрація даних.

Припустимо, що ми хочемо отримати , зробимо наступні оцінки:$P(am=1|cyl=4)$

> cyl_4_cars=subset(mtcars, cyl==4)
> prop.table(table(cyl_4_cars$am))

        0         1 
0.2727273 0.7272727 

Це означає, що нас дбають лише про автомобілі, які мають 4 циліндри. Тому ми фільтруємо дані на цьому. Після фільтрування ми перевіряємо, скільки з них є вручну.

Ви можете порівняти це умовно із спільним, про який я згадував раніше, щоб відчути відмінності.

Якщо Aбули надбезліччю Bймовірності того, що Aвідбувається завжди 1 за умови , що Bсталося, то є P(A|B) = 1. Однак Bсама по собі може мати ймовірність набагато меншу, ніж 1.

Розглянемо наступний приклад:

• задане xнатуральне число в 1..100,
• Aє " xце парне число"
• Bє " xділиться на 10"

Тоді у нас є:

• P(A) становить 0,5
• P(B) становить 0,1

Якщо ми знаємо, що xділиться на 10 (тобто xзнаходиться в B), ми знаємо, що це також парне число (тобто xє в A) так P(A|B) = 1.

З правління Байєса ми маємо:

$$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

$P(A \cap B)$xx$P(A \cap B) = P(B)$$P(A|B) = P(B) / P(B) = 1$

---

Для неживого прикладу розглянемо, наприклад, Aє " xділиться на 7" і Bє " xділиться на 3". Тоді P(A|B)еквівалентно «враховуючи, що ми знаємо, що xділиться на 3, яка ймовірність того, що вона (також) ділиться на 7?». Або еквівалентно 'Яка частка чисел 3, 6, ..., 99 ділиться на 7'?

Я думаю, що ваше початкове твердження може бути непорозумінням.

Ви написали:

Формула умовної ймовірності того, що A станеться, коли B сталося, така:

З вашого фразування це може здатися так, ніби є дві події "Спочатку Б сталося, а потім ми хочемо обчислити ймовірність того, що А відбудеться".

Це не так. (Далі діє, було непорозуміння чи ні).

У нас всього 1 захід, який описується однією з 4 можливостей:

1. $\text{A}$$\text{B}$

2. $\text{A}$$\text{B}$

3. $\text{B}$$\text{A}$

4. $\text{A}$$\text{B}$

$$\begin{array}{ccccccc} P\left(\text{A}\right) = 0.5, & & P\left(\text{B}\right) = 0.5, & & \text{and} & & \text{A and B are independent}. \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc} P\left(\text{A and B}\right)=0.25 & & \text{and} & & P\left(\text{neither A nor B}\right)=0.25. \end{array}$$

$P\left(\text{AB}\right) = 0.25$

$\text{B}$$P\left(\text{AB}\right)$$P\left(\text{B}\right)$$\text{A}$$\text{B}$$P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$$0.5$$0.25$$\text{B}$

Ймовірність кондиціонування НЕ дорівнює ймовірності перетину. Ось інтуїтивна відповідь:

$P(B \mid A)$$A$$B$

$P(A \cap B)$$A$$B$

$A$

Починаючи з ймовірності другого, ми можемо вивести ймовірність першого.

$A$$B$

$A$$B$$A$

$B$$A$$B$

$0.5$

$P(A \cap B) = 1/2 * P(A \cap (B \mid A)) + 1/2*P(B \cap (A \mid B))$

$A$$B \mid A$

$P(A \cap B) = P(A) * P(B \mid A)$

Тадааа ... тепер ізолюй вірогідність кондиціонування!

btw. Я хотів би, якби хтось міг пояснити, чому сценарій 1 і 2 рівні. Ключ лежить у там imo.