Які форми розподілу дають «піфагорійське очікування»?

16

Нехай і є незалежними безперервними випадковими змінними, що генеруються з тієї ж не визначеної форми розподілу, але з урахуванням різних значень параметрів. Мені цікаво знайти параметричну форму розподілу, для якої має місце наступна ймовірність вибірки для всіх допустимих значень параметрів: $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

П (Х > Y | θ_{Х}, θ_{Y}) = \frac{θ_{Х}^{2}}{θ_{Х}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$

Моє запитання: Чи може хтось сказати мені форму безперервної дистрибуції, для якої це стосується? Чи існують якісь (нетривіальні) загальні умови, які призводять до цього?

Мої попередні думки: Якщо ви помножите обидва параметри на будь-яку ненульову константу, то ймовірність залишається незмінною, тому має значення сенс бути деяким параметром масштабу. $\theta$

probability distributions

— Відновіть Моніку
джерело

1

Можливо, це допоможе: en.wikipedia.org/wiki/…

— Джон Коулман

1

Чи можете ви надати контекст або посилання на це питання?

— Сіань

17

Якщо ми візьмемо дві експоненціальні випадкові величини отримаємо, що і Тепер, якщо то

Х \sim Е (θ_{Х}) Х \sim Е (θ_{Y})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$

П (Х > Y | Y = у) = досвід {- θ_{Х} у}

$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$

Е^{Y} [досвід {- θ_{Х} Y}] = \int_{0}^{\infty} досвід {- θ_{Х} у} θ_{Y} досвід {- θ_{Y} у} г у = \frac{θ_{Y}}{θ_{Х} + θ_{Y}}

$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$

Х \sim Е (θ_{Х}^{- 2}) Х \sim Е (θ_{Y}^{- 2})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$

П (Х > Y) = \frac{θ_{Х}^{2}}{θ_{Х}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$

Більш цікаве питання - чи це єдиний можливий випадок розповсюдження, для якого він працює. (Наприклад, це єдиний елемент сімейства Gamma , для якої він працює.) Якщо припустити, що масштаб структури сім'ї, необхідним і достатнім на основний щільності з і є те , що $f$ $X$ $Y$

\int_{0}^{\infty} z f (z) f (τ z) г z = \frac{1}{(1 + τ)^{2}}

$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$

Але загальної відповіді немає: як зазначається у відповіді @soakley , це також працює для Weibulls, що не є сюрпризом, оскільки для всіх (а Weibulls - це сили експоненцій). Таким чином, більш загальний клас прикладів для всіх суттєво зростаючих функцій , де це експоненти, як зазначено вище, з тих пір маємо

П (Х > Y) = П (Х^{α} > Y^{α})

$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$

α > 0

$\alpha>0$

Х^{'} = ϕ (Х) Y^{'} = ϕ (Y)

$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$ $\phi$

X, Y

$X,Y$

П (Х^{'} > Y^{'}) = П (ϕ (Х) > ϕ (Y)) = П (Х > Y) = \frac{θ_{Х}^{2}}{θ_{Х}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$

— Сіань
джерело

8

Якщо - Weibull а - незалежний Weibull , де альфа - параметр форми, а бета - параметри шкали, то це відомо що $X$ $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ $Y$ $\left( \alpha, \beta_2 \right)$

П [Х > Y] = \frac{β_{1}^{α}}{β_{1}^{α} + β_{2}^{α}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$

Це можна отримати, виходячи з того самого підходу, що наведений у відповіді Сіань.

Нехай тепер для обох і . Якщо має параметр масштабу а має параметр масштабу нас $\alpha=2$ $X$ $Y$ $X$ $\theta_X$ $Y$ $\theta_Y,$

П [Х > Y] = \frac{θ_{Х}^{2}}{θ_{Х}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$

— соклей
джерело

(+1): Враховуючи розпливче поняття параметризації, прийняте у запитанні, ви можете параметризувати Weibulls за допомогою та для всіх 's. Таким чином, результат справедливий для всіх .

θ_{X}

$\theta_X$

θ_{Y}

$\theta_Y$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Сіань

Дійсно, так, як ви показали. Я припускав, що ОП хотів чогось більш прямого з параметрами.

— soakley