Чи можна реконструювати 3D-спільний розподіл за допомогою 2D-маргіналів?

Припустимо, ми знаємо p (x, y), p (x, z) і p (y, z), чи правда, що спільний розподіл p (x, y, z) ідентифікується? Тобто, є лише один можливий p (x, y, z), який має вище маргіналів?

distributions mathematical-statistics

— користувач1466742
джерело

Пов'язане: Чи можливо мати пару гауссових випадкових величин, для яких спільний розподіл не є гауссовим? (Це стосується 2D стику проти 1D маргіналів, але відповідь та інтуїція в кінцевому рахунку однакова, плюс картинки у відповіді @ Кардинала прекрасні.)

— gung - Відновити Моніку

@gung Відносини дещо віддалені. Тонкість цього питання полягає в думці, що копула показує нам, як розвивати двовимірні розподіли із заданими маргіналами. Але якщо ми визначимо три біваріантні границі для триваріантного розподілу, то для цього триваріатного розподілу повинні бути досить суворі додаткові обмеження: одновимірні межі повинні бути узгодженими. Тоді питання полягає в тому, чи достатньо цих обмежень для обмеження триваріантного розподілу. Це робить його суттєво більш ніж двовимірним питанням.

— whuber

@whuber, я розумію, ви говорите, що 2D маргінали є більш обмежуючими, ніж 1D маргінали, що є розумним. Моя думка полягає в тому, що в обох відповідях, що маргінали не можуть в достатній мірі стримувати спільний розподіл, і що відповідь Кардинала там робить питання дуже легко зрозуміти. Якщо ви вважаєте, що це занадто сильно відволікає увагу, я можу видалити ці коментарі.

— gung - Відновіть Моніку

@gung Я намагаюся сказати щось зовсім інше, і це нелегко помітити (якщо тільки ти не дуже хороший у 3D-візуалізаціях). Ви пам’ятаєте обкладинку зображення Годеля, Ешера, Баха Гофстадтера ? (Це легко знайти Googling; можливо, я розширю відповідь, щоб включити його.) Існування цих двох різних твердих тіл з однаковими наборами проекцій на осі координат є досить дивовижним. Це фіксує думку про те, що повний набір ортогональних 2D "поглядів" 3D-об'єкта не обов'язково визначає об'єкт. У цьому суть справи.

— whuber

@Gung дозвольте спробувати ще раз. Так, думка про те, що маргінали не повністю визначають розподіл, є загальною для обох випадків. Ускладнення в цьому - те, що, на мою думку, робить його настільки відмінним від іншого - полягає в тому, що маргінали в нинішній ситуації аж ніяк не є незалежними: кожен 2D маргінал визначає два 1D границі , а також міцний зв’язок між ними маргінали. Тоді концептуально це питання може бути перероблено як "чому не є залежності 2D-граничних" перехідних "або" кумулятивних "в сенсі визначення повного 3D-розподілу?"

— whuber

Відповіді:

Ні . Можливо , найпростіші проблеми контрприклад Розподіл трьох незалежних змінні , для яких все вісім можливих результатів з через в рівній мірі вірогідні. Це робить усі чотири граничні розподіли рівномірними на $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ . $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Розглянемо випадкові величини які рівномірно розподілені на множині . Вони мають такі самі поля, як і $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ . $(X_1,X_2,X_3)$

Обкладинка Годела, Ешера, Баха Дугласа Хофштадтера натякає на можливості.

Три ортогональні проекції (тіні) кожного з цих твердих тіл на координатні площини однакові, але тверді тіла очевидно відрізняються. Хоча тіні - це не те саме, що граничні розподіли, вони функціонують подібним чином, щоб обмежити, але не повністю визначити 3D-об’єкт, який їх закидає.

— дзижчати
джерело

+1 звичайно, але якщо я правильно пам’ятаю,

повертається до Бернштейна і, можливо, навіть раніше. У минулому я широко використовував це для обговорення логічного ворота "Ексклюзив-АБО", де події, вхідні дані яких 1, а вихід 1 - попарно незалежні події (для входів однаково вірогідні рівні 0 або 1), але вони не є незалежно взаємними події

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

— Діліп Сарват

У тому ж дусі, що і відповідь Ваубера,

Розглянемо спільно неперервні випадкові величини з функцією щільності суглобів $U, V, W$ депозначає стандартну функцію нормальної щільності.

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Цілком очевидно , що і є залежними випадковими величинами. Зрозуміло також, що вони не є спільно нормальними випадковими величинами. Однак усі три пари є попарно незалежними випадковими змінними: насправді незалежними стандартними нормальними випадковими змінними (і, таким чином, попарно спільно нормальними випадковими змінними). Словом, $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ є прикладом парно незалежних, але не взаємно незалежних стандартних звичайних випадкових величин. Дивіться цю відповідь мою для більш детальної інформації.

$X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$

(1)

$(1)$

— Діліп Сарват
джерело

Ви в основному запитуєте, чи можлива реконструкція CAT , використовуючи лише зображення вздовж трьох основних осей.

Це не так ... інакше це було б робити. :-) Перегляньте перетворення Радона, щоб отримати більше літератури.

— користувач541686
джерело

Мені подобається аналогія. Хоча два аспекти хвилюють. Одне полягає в логіці: тільки тому, що трансформація Радона (або якась інша методика) використовує більше даних, ніж три маргінали, це логічно не означає, що вона справді потребує всіх цих даних. Інша проблема полягає в тому, що КТ за своєю суттю є двовимірним: вони реконструюють твердий фрагмент тіла за зрізом. (Це правда, що перетворення Радона визначено в трьох і вищих вимірах.) Таким чином, вони насправді не потрапляють до суті справи: ми вже знаємо, що одноманітних маргіналів недостатньо для відновлення двовимірного розподілу.

— whuber

@whuber: Я думаю, ти неправильно зрозумів, про що я говорив ... а 2D проти 3D - це червона оселедець. Я намагався сказати, що для зворотного перетворення Радона потрібен повний інтеграл для його інверсії (тобто, якщо ви буквально просто дивитесь на формулу інверсії, ви бачите, що для інверсії потрібен інтеграл для всіх кутів, а не сума над d кутами). Сканування CAT було якраз для того, щоб допомогти ОП побачити, що це та сама проблема, що і для КТ.

— користувач541686

Ось тут логіка ламається: це не та сама проблема, що і КТ. Ваш аргумент звучить як аналог "кожен транспортний засіб, який я бачу на дорозі, використовує щонайменше чотири колеса. Тому перевезення наземним транспортом, що має менше чотирьох коліс, неможливо, бо якби це було можливо, люди могли використовувати менше коліс, щоб економити витрати на шини. Якщо ви сумніваєтесь у цьому, просто подивіться креслення для машини ". До речі, трансформація, реалізована в КТ-сканері, робить не інтегрується через усі кути - міра набору кутів, які він використовує, дорівнює нулю!

— whuber

@whuber: Забудьте на мить про річ КТ. Чи згодні ви з іншою логікою?

— користувач541686