Чому ми не використовуємо зважене середнє арифметичне замість гармонічного середнього?

Цікаво, яке власне значення використання гармонічного середнього (наприклад, для обчислення F-мір) на відміну від зваженого середнього арифметичного при поєднанні точності та згадування? Я думаю, що середньозважене середнє арифметичне може зіграти роль гармонійного середнього, чи я щось пропускаю?

— ольга
джерело

Середнє гармонічне значення - середньозважене середнє арифметичне: кожен має вагу, пропорційну .

x_{i}

$x_i$

1 / x_{i}^{2}

$1/x_i^2$

— whuber

Чи можете ви сказати більше про те, як точність та згадування поєднуються таким чином?

— AdamO

@whuber Не впевнений, чи ваш коментар серйозний чи не вдягнутий у щоку. Ваги зазвичай вважаються функцією індексу вибірки , а не від значення вибірки . В іншому випадку будь-яке середнє значення є середньозваженою середньоарифметичною

— Луїс Мендо

@Luis Істина знаходиться між ними. Індекс вибірки часто є безглуздим. Ваги - це функції об'єктів, але ці функції зазвичай не залежать від усереднених значень. Прикладами є ваги, пов’язані з часом (EWMA), з розташуванням (як у мірах просторової кореляції), рангом (як у тесті Шапіро-Вілка) та ймовірністю вибірки. Але далеко не всі засоби є зваженими АМ: наприклад, ГМ немає. Оскільки Філіппа запитує про "суттєву цінність", здавалося, що германія вказує на математичну залежність між гармонічним середнім та зваженим засобом.

— whuber

Відповіді:

Взагалі, гармонійні засоби віддають перевагу, коли намагаються середні показники, а не цілі числа. У випадку вимірювання F1 гармонічне середнє покарає дуже малі точності або відкликання, тоді як не зважене середнє арифметичне не буде. Уявіть усереднення 100% і 0%: середнє арифметичне - 50%, а середнє гармонійне - 0%. Гармонічне значення вимагає високої точності та згадування.

Крім того, коли точність і відкликання зближуються, середнє гармонічне значення буде близьким до середнього арифметичного. Приклад: середнє значення гармонік 95% і 90% становить 92,4% порівняно з середнім арифметичним 92,5%.

Чи це бажана властивість, ймовірно, залежить від вашого випадку використання, але зазвичай це вважається хорошим.

Нарешті, зауважте, що, як @whuber заявив у коментарях, середня гармоніка - це дійсно зважене середнє арифметичне.

— іланман
джерело

"Гармонійні засоби є кращими, коли намагаються досягти середніх показників" Можливо, якщо ви подорожете км зі швидкістю км / год і км назад зі швидкістю км / год, щоб отримати середню загальну швидкість км / год, хоча ні, якщо ви подорожуйте хвилин при км / год і хвилин при км / год, щоб отримати середню загальну швидкість км / год. Але я не бачу, чому це стосується дробів

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

80

$80$

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

90

$90$

— Генрі

Дійсно, перший абзац - це більше загальне твердження про гармонійне середнє. Але ти маєш рацію, точність і згадування - це дроби, а не ставки. Я вважаю, що існує думка, що середнє арифметичне є кращим для значень, які мають інтерпретаційну суму (що не застосовується в даному випадку), але, безумовно, можна взяти середнє арифметичне точність і згадати та вивести корисний результат.

— іланман

Відмінно! Я більше шукаю "виправдання" для використання правила гармонічного усереднення. Але я не впевнений, як думати про виправдання ..

— olga

Середнє гармонічне значення може бути зручним замінником середнього арифметичного, коли остання не очікує або не відрізняється. Дійсно, що не існує або є нескінченним, тоді як існує. Наприклад, розподіл Парето з щільністю не має кінця очікування, коли , з чого випливає, що середнє арифметичне має нескінченне очікування, тоді як що означає, що середнє гармонічне значення має кінцеве очікування. $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[1/X]$

f (x) = \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 1}} I_{x \geq x_{0}}

$f(x)=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\mathbb{I}_{x\ge x_0}$

α \leq 1

$\alpha\le 1$

E [1 / X] = \int_{x_{0}}^{\infty} \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 2}} d x = \frac{α x_{0}^{α}}{(α + 1) x_{0}^{α + 1}} = \frac{α}{(α + 1) x_{0}}

$\mathbb{E}[1/X]=\int_{x_0}^\infty \dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+2}}\,\text{d}x=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{(\alpha+1) x_0^{\alpha+1}}=\dfrac{\alpha}{(\alpha+1) x_0}$

І навпаки, є розподіли, для яких середнє гармонічне значення не очікується, як, наприклад, розподіл Beta коли . І багато інших, для яких вона не має варіації. $\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$ $\alpha\le1$

Існує також посилання з наближеннями Монте-Карло до інтегралів і, особливо, нормалізуючих констант на основі байєсівської задньої ідентичності де - будь-яка щільність, є попередньою, ймовірністю, і граничний, як обговорювалося в тому іншому питанні на X, підтвердженому, де я коментую небезпеку використання того, що Радфорд Ніл (У Торонто) називає найгіршим оцінником Монте-Карло за будь-який час . (Я також написав кілька записів у своєму блозі на цю тему.)

E [\frac{φ (θ)}{π (θ) L (θ | x)} | x] = \frac{1}{m (x)}

$\mathbb{E}\left[\dfrac{\varphi(\theta)}{\pi(\theta)L(\theta|x)}\Big| x\right]=\dfrac{1}{m(x)}$

φ (\cdot)

$\varphi(\cdot)$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

L (\cdot | x)

$L(\cdot|x)$

m (\cdot)

$m(\cdot)$

— Сіань
джерело

Чому ці властивості є кращими при усередненні показників?

— Морж Кіт

Я не знаю результатів оптимальності, але мати оцінку з кінцевим очікуванням здається кращим, ніж один без!

— Сіань