Матрична форма зворотного розмноження з партійною нормалізацією

Нормалізація партії пояснюється значним покращенням продуктивності глибоких нейронних сіток. Багато матеріалів в Інтернеті показує, як реалізувати його на основі активації за допомогою активації. Я вже реалізував backprop, використовуючи матричну алгебру, і враховуючи, що я працюю на мовах високого рівня (покладаючись на Rcpp(а згодом і на GPU) для щільного множення матриці), видобування всього і вдавання до for-loops, ймовірно, уповільнить мій код по суті, крім того, що це великий біль.

Функція пакетної нормалізації - де

b (x_{p}) = γ (x_{p} - μ_{x_{p}}) σ_{x_{p}}^{- 1} + β

$b(x_p) = \gamma \left(x_p - \mu_{x_p}\right) \sigma^{-1}_{x_p} + \beta$

$x_p$ - й вузол, перш ніж він активується $p$
$\gamma$ та - скалярні параметри $\beta$
$\mu_{x_p}$ і - це середнє значення та SD з . (Зверніть увагу, що зазвичай використовується квадратний корінь дисперсії плюс коефіцієнт витіснення. Припустимо, не компактні елементи для компактності) $\sigma_{x_p}$ $x_p$

У матричній формі пакетна нормалізація для цілого шару буде де

b (X) = (γ \otimes 1_{p}) ⊙ (X - μ_{X}) ⊙ σ_{X}^{- 1} + (β \otimes 1_{p})

$b(\mathbf{X}) = \left(\gamma\otimes\mathbf{1}_p\right)\odot \left(\mathbf{X} - \mu_{\mathbf{X}}\right) \odot\sigma^{-1}_{\mathbf{X}} + \left(\beta\otimes\mathbf{1}_p\right)$

$\mathbf{X}$ - $N\times p$
$\mathbf{1}_N$ - вектор стовпців
$\gamma$ та тепер рядкові вектори параметрів нормалізації шару $\beta$ $p$
$\mu_{\mathbf{X}}$ і - матриць, де кожен стовпець є вектором значень стовпців і стандартних відхилень $\sigma_{\mathbf{X}}$ $N \times p$ $N$
$\otimes$ є продуктом а - продуктом елементів (Адамард) $\odot$

Дуже проста одношарова нейронна сітка без пакетної нормалізації та безперервного результату -

y = a ({X Γ}_{1}) Γ_{2} + ϵ

$y = a\left(\mathbf{X\Gamma}_1\right)\Gamma_2 + \epsilon$

де

$\Gamma_1$ - $p_1 \times p_2$
$\Gamma_2$ - $p_2 \times 1$
$a(.)$ - функція активації

Якщо втрата , то градієнти $R = N^{-1}\displaystyle\sum\left(y - \hat{y}\right)^2$

\begin{array}{lr} \frac{\partial R}{\partial Γ_{1}} = - 2 V^{T} \hat{ϵ} \\ \frac{\partial R}{\partial Γ_{2}} = X^{T} (a^{'} (X Γ_{1}) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T}) \end{array}

$\begin{array}{lr} \frac{\partial R}{\partial \Gamma_1} = -2\mathbf{V}^T \hat\epsilon\\ \frac{\partial R}{\partial \Gamma_2} = \mathbf{X}^T \left(a'(\mathbf{X}\mathbf{\Gamma}_1) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T\right) \\ \end{array}$

де

$\mathbf{V} = a\left(\mathbf{X}\Gamma_1\right)$
$\hat{\epsilon} = y-\hat{y}$

Під час пакетної нормалізації сітка стає або Я не маю уявлення, як обчислити похідні продуктів Hadamard і Kronecker. Що стосується продуктів Kronecker, то література стає досить затхлою.

y = a (b (X Γ_{1})) Γ_{2}

$y = a\left(b\left(\mathbf{X}\Gamma_1\right)\right)\Gamma_2$

y = a ((γ \otimes 1_{N}) ⊙ (X Γ_{1} - μ_{X Γ_{1}}) ⊙ σ_{X Γ_{1}}^{- 1} + (β \otimes 1_{N})) Γ_{2}

$y = a\Big(\left(\gamma\otimes\mathbf{1}_N\right)\odot \left(\mathbf{X\Gamma_1} - \mu_{\mathbf{X\Gamma_1}}\right) \odot\sigma^{-1}_{\mathbf{X\Gamma_1}} + \left(\beta\otimes\mathbf{1}_N\right)\Big)\mathbf{\Gamma_2}$

Чи існує практичний спосіб обчислення , , і в рамках матриці? Простий вираз, не вдаючись до обчислення вузлів за вузлом? $\partial R/\partial \gamma$ $\partial R/\partial \beta$ $\partial R/\partial \mathbf{\Gamma_1}$

Оновлення 1:

Я з'ясував - на зразок. Це: Деякі код R демонструє, що це еквівалентно петельному способу зробити це. Спочатку налаштуйте підроблені дані: $\partial R/\partial \beta$

1_{N}^{T} (a^{'} (X Γ_{1}) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T})

$\mathbf{1}_{N}^T \left(a'(\mathbf{X}\mathbf{\Gamma}_1) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T\right)$

set.seed(1)
library(dplyr)
library(foreach)

#numbers of obs, variables, and hidden layers
N <- 10
p1 <- 7
p2 <- 4
a <- function (v) {
  v[v < 0] <- 0
  v
}
ap <- function (v) {
  v[v < 0] <- 0
  v[v >= 0] <- 1
  v
}

# parameters
G1 <- matrix(rnorm(p1*p2), nrow = p1)
G2 <- rnorm(p2)
gamma <- 1:p2+1
beta <- (1:p2+1)*-1
# error
u <- rnorm(10)

# matrix batch norm function
b <- function(x, bet = beta, gam = gamma){
  xs <- scale(x)
  gk <- t(matrix(gam)) %x% matrix(rep(1, N))
  bk <- t(matrix(bet)) %x% matrix(rep(1, N))
  gk*xs+bk
}
# activation-wise batch norm function
bi <- function(x, i){
  xs <- scale(x)
  gk <- t(matrix(gamma[i]))
  bk <- t(matrix(beta[i]))
  suppressWarnings(gk*xs[,i]+bk)
}

X <- round(runif(N*p1, -5, 5)) %>% matrix(nrow = N)
# the neural net
y <- a(b(X %*% G1)) %*% G2 + u

Потім обчисліть похідні:

# drdbeta -- the matrix way
drdb <- matrix(rep(1, N*1), nrow = 1) %*% (-2*u %*% t(G2) * ap(b(X%*%G1)))
drdb
           [,1]      [,2]    [,3]        [,4]
[1,] -0.4460901 0.3899186 1.26758 -0.09589582
# the looping way
foreach(i = 1:4, .combine = c) %do%{
  sum(-2*u*matrix(ap(bi(X[,i, drop = FALSE]%*%G1[i,], i)))*G2[i])
}
[1] -0.44609015  0.38991862  1.26758024 -0.09589582

Вони відповідають. Але я все ще розгублений, бо не знаю, чому це працює. Зауваження MatCalc, на які посилається @Mark L. Stone, кажуть, що похідна повинна бути $\beta \otimes \mathbf{1}_N$

\frac{\partial A \otimes B}{\partial A} = (I_{n q} \otimes T_{m p}) (I_{n} \otimes v e c (B) \otimes I_{m})

$\frac{\partial A \otimes B}{\partial A} = \left(I_{nq} \otimes T_{mp}\right)\left(I_n\otimes vec(B) \otimes I_m\right)$ де нижні індекси , і , , є розмірами і . - матриця комутації, яка тут просто 1, оскільки обидва входи - це вектори. Я спробую це і отримаю результат, який не здається корисним:

m

$m$

n

$n$

p

$p$

q

$q$

A

$A$

B

$B$

T

$T$

# playing with the kroneker derivative rule
A <- t(matrix(beta)) 
B <- matrix(rep(1, N))
diag(rep(1, ncol(A) *ncol(B))) %*% diag(rep(1, ncol(A))) %x% (B) %x% diag(nrow(A))
     [,1] [,2] [,3] [,4]
 [1,]    1    0    0    0
 [2,]    1    0    0    0
 snip
[13,]    0    1    0    0
[14,]    0    1    0    0
snip
[28,]    0    0    1    0
[29,]    0    0    1    0
[snip
[39,]    0    0    0    1
[40,]    0    0    0    1

Це не відповідає. Ясно, що я не розумію цих похідних правил Kronecker. Допомога з цим була б чудовою. Я все ще повністю застряг в інших похідних, для та - вони складніші, оскільки вони не вводять додатково, як . $\gamma$ $\mathbf{\Gamma_1}$ $\beta \otimes \mathbf{1}$

Оновлення 2

Читаючи підручники, я цілком впевнений, що та потребують використання оператора. Але я, мабуть, не в змозі слідкувати за виведеннями достатньо, щоб можна було перевести їх у код. Наприклад, передбачає взяття похідної стосовно , де (що ми можемо розглядати як постійну матрицю на даний момент). $\partial R/\partial \Gamma_1$ $\partial R/\partial \gamma$ vec() $\partial R/\partial \Gamma_1$ $w\odot\mathbf{X\Gamma_1}$ $\mathbf{\Gamma_1}$ $w \equiv (\gamma \otimes \mathbf{1}) \odot \sigma_{\mathbf{X\Gamma_1}}^{-1}$

Мій інстинкт полягає в тому, щоб просто сказати "відповідь є ", але це, очевидно, не працює, тому що не сумісний з . $w\odot\mathbf{X}$ $w$ $\mathbf{X}$

Я знаю, що

\partial (A ⊙ B) = \partial A ⊙ B + A ⊙ \partial B

$\partial(A \odot B) = \partial A \odot B + A \odot \partial B$

і з цього , що

\frac{\partial v e c (w ⊙ X Γ_{1})}{\partial v e c (Γ_{1})^{T}} = v e c (X Γ_{1}) I \frac{\partial v e c (w)}{\partial v e c (Γ_{1})^{T}} + v e c (w) I \frac{\partial v e c (X Γ_{1})}{\partial v e c (Γ_{1})^{T}}

$\frac{\partial vec(w \odot \mathbf{X\Gamma_1})}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T} = vec(\mathbf{X\Gamma_1})I\frac{\partial vec(w)}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T} + vec(w)I\frac{\partial vec(\mathbf{X\Gamma_1})}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T}$ Але я не впевнений, як це оцінити, не кажучи вже про кодування.

Оновлення 3

Прогрес тут. Я прокинувся о 2 годині ночі з цією ідеєю. Математика не корисна для сну.

Ось , після деякого нотаційного цукру: $\partial R/\partial \mathbf{\Gamma_1}$

$w \equiv (\gamma \otimes \mathbf{1}) \odot \sigma_{\mathbf{X\Gamma_1}}^{-1}$
$\text{"stub"} \equiv a'(b(\mathbf{X\Gamma}_1)) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T$

Ось що ви маєте після того, як дійшли до кінця ланцюгового правила: Почніть з цього циклу - та буде підписувати стовпці, а - це сумісна матриця ідентичності:

\frac{\partial R}{\partial Γ_{1}} = \frac{\partial w ⊙ {X Γ}_{1}}{\partial Γ_{1}} ("stub")

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_1} = \frac{\partial w \odot \mathbf{X\Gamma}_1}{\partial \Gamma_1}\left(\text{"stub"}\right)$

i

$i$

j

$j$

I

$\mathbf{I}$

\frac{\partial R}{\partial Γ_{i j}} = {(w_{i} ⊙ X_{i})}^{T} ({"stub"}_{j})

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \left(w_i \odot \mathbf{X_i}\right)^T\left(\text{"stub"}_j\right)$

\frac{\partial R}{\partial Γ_{i j}} = {(I w_{i} X_{i})}^{T} ({"stub"}_{j})

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \left(\mathbf{I} w_i \mathbf{X_i}\right)^T\left(\text{"stub"}_j\right)$

\frac{\partial R}{\partial Γ_{i j}} = {X_{i}}^{T} I w_{i} ({"stub"}_{j})

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \mathbf{X_i}^T\mathbf{I} w_i\left(\text{"stub"}_j\right)$ tl; dr, ви в основному попередньо помножили заглушку на коефіцієнти шкали batchnorm. Це має бути еквівалентно:

\frac{\partial R}{\partial Γ} = X^{T} ("stub" ⊙ w)

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma} = \mathbf{X}^T\left(\text{"stub"}\odot w\right)$

І насправді це:

stub <- (-2*u %*% t(G2) * ap(b(X%*%G1)))
w <- t(matrix(gamma)) %x% matrix(rep(1, N)) * (apply(X%*%G1, 2, sd) %>% t %x% matrix(rep(1, N)))
drdG1 <- t(X) %*% (stub*w)

loop_drdG1 <- drdG1*NA
for (i in 1:7){
  for (j in 1:4){
    loop_drdG1[i,j] <- t(X[,i]) %*% diag(w[,j]) %*% (stub[,j])
  }
}

> loop_drdG1
           [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -61.531877  122.66157  360.08132 -51.666215
[2,]   7.047767  -14.04947  -41.24316   5.917769
[3,] 124.157678 -247.50384 -726.56422 104.250961
[4,]  44.151682  -88.01478 -258.37333  37.072659
[5,]  22.478082  -44.80924 -131.54056  18.874078
[6,]  22.098857  -44.05327 -129.32135  18.555655
[7,]  79.617345 -158.71430 -465.91653  66.851965
> drdG1
           [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -61.531877  122.66157  360.08132 -51.666215
[2,]   7.047767  -14.04947  -41.24316   5.917769
[3,] 124.157678 -247.50384 -726.56422 104.250961
[4,]  44.151682  -88.01478 -258.37333  37.072659
[5,]  22.478082  -44.80924 -131.54056  18.874078
[6,]  22.098857  -44.05327 -129.32135  18.555655
[7,]  79.617345 -158.71430 -465.91653  66.851965

Оновлення 4

Тут, я думаю, є . Перший $\partial R / \partial \gamma$

$\widetilde{\mathbf{X\Gamma}} \equiv \left(\mathbf{X\Gamma} - \mu_{\mathbf{X\Gamma}}\right)\odot \sigma^{-1}_\mathbf{X\Gamma}$
$\tilde\gamma \equiv \gamma \otimes\mathbf{1}_N$

Як і раніше, ланцюгове правило отримує вас наскільки Циклу дає вам Який, як і раніше, в основному попередньо помножив заглушку. Отже, він повинен бути еквівалентний:

\frac{\partial R}{\partial \tilde{γ}} = \frac{\partial \tilde{γ} ⊙ \tilde{X Γ}}{\partial \tilde{γ}} ("stub")

$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma} = \frac{\partial \tilde\gamma \odot \widetilde{\mathbf{X\Gamma}}}{\partial \tilde\gamma}\left(\text{"stub"}\right)$

\frac{\partial R}{\partial {\tilde{γ}}_{i}} = (\tilde{X Γ})_{i}^{T} I {\tilde{γ}}_{i} ({"stub"}_{i})

$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma_i} = (\widetilde{\mathbf{X\Gamma}})_i^T \mathbf{I}\tilde\gamma_i \left(\text{"stub"}_i\right)$

\frac{\partial R}{\partial \tilde{γ}} = (\tilde{X Γ})^{T} ("stub" ⊙ \tilde{γ})

$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma} = (\widetilde{\mathbf{X\Gamma}})^T \left(\text{"stub"} \odot \tilde\gamma \right)$

Це сортування відповідностей:

drdg <- t(scale(X %*% G1)) %*% (stub * t(matrix(gamma)) %x% matrix(rep(1, N)))

loop_drdg <- foreach(i = 1:4, .combine = c) %do% {
  t(scale(X %*% G1)[,i]) %*% (stub[,i, drop = F] * gamma[i])  
}

> drdg
           [,1]      [,2]       [,3]       [,4]
[1,]  0.8580574 -1.125017  -4.876398  0.4611406
[2,] -4.5463304  5.960787  25.837103 -2.4433071
[3,]  2.0706860 -2.714919 -11.767849  1.1128364
[4,] -8.5641868 11.228681  48.670853 -4.6025996
> loop_drdg
[1]   0.8580574   5.9607870 -11.7678486  -4.6025996

Діагональ на першій така ж, як вектор на другій. Але насправді, оскільки похідна є відносно матриці - хоч і з певною структурою, вихід повинен бути подібною матрицею з однаковою структурою. Чи слід брати діагональ матричного підходу і просто вважати його ? Я не впевнений. $\gamma$

Здається, я відповів на власне запитання, але не знаю, чи правильно я. У цей момент я прийму відповідь, яка жорстко доводить (або спростовує) те, що я наче зламала разом.

while(not_answered){
  print("Bueller?")
  Sys.sleep(1)
}

— generic_user
джерело

Розділ 14 розділу 14 "Матричне диференціальне обчислення із застосуванням у статистиці та економетрії" Магнуса та Недекера, 3-е видання janmagnus.nl/misc/mdc2007-3rdedition охоплює різні продукти Kronecker та завершує вправу на диференціювання продукту Адамара. "Зауваження щодо матричного обчислення" Пола Л. Факлера www4.ncsu.edu/~pfackler/MatCalc.pdf є багато матеріалу про розмежування продуктів Kronceker

— Марк Л. Стоун

Дякую за довідку. Я раніше знаходив ці нотатки MatCalc, але він не охоплює Адамара, і все одно я ніколи не впевнений, застосовується чи не застосовується до матричного випадку правило з нематричного обчислення. Правила щодо продуктів, правила ланцюжка тощо. Я перегляну книгу. Я прийняв би відповідь, яка вказує мені на всі інгредієнти, які мені потрібні для того, щоб оформити це самостійно ...

— generic_user

чому ви це робите? чому б не скористатися рамками, такими як Keras / TensorFlow? Марно витрачати продуктивний час на реалізацію цих алгоритмів низького рівня, які можна використати для вирішення актуальних проблем

— Аксакал,

Точніше, я підходить до мереж, які використовують відому параметричну структуру - як з точки зору лінійних представлень параметрів вхідних даних, так і з поздовжньої / панельної структури. Створені рамки настільки сильно оптимізовані, що виходять за рамки моїх можливостей зламати / змінювати. Плюс математика загалом корисна. Дуже багато кодемокей не мають уявлення, що вони роблять. Так само Rcppкорисне навчання, щоб ефективно його втілити.

— generic_user

@ MarkL.Stone не тільки теоретично звучить, це практично просто! Більш-менш механічний процес! &% # $!

— generic_user

Не повна відповідь, але щоб продемонструвати те, що я запропонував у своєму коментарі, якщо де , і - вектор одиниць, то за ланцюговим правилом Зауваживши, що і , ми бачимо, що

b (X) = (X - e_{N} μ_{X}^{T}) Γ Σ_{X}^{- 1 / 2} + e_{N} β^{T}

$b(X)=(X−e_N\mu_X^T)ΓΣ_X^{-1/2}+e_N\beta^T$

Γ = d i a g (γ)

$\Gamma=\mathop{\mathrm{diag}}(\gamma)$

Σ_{X}^{- 1 / 2} = d i a g (σ_{X_{1}}^{- 1}, σ_{X_{2}}^{- 1}, \dots)

$\Sigma_X^{-1/2}=\mathop{\mathrm{diag}}(\sigma_{X_1}^{-1},\sigma_{X_2}^{-1},\dots)$

e_{N}

$e_N$

\nabla_{β} R = [- 2 \hat{ϵ} (Γ_{2}^{T} \otimes I) J_{X} (a) (I \otimes e_{N})]^{T}

$\nabla_\beta R=[-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)J_X(a)(I\otimes e_N)]^T$

- 2 \hat{ϵ} (Γ_{2}^{T} \otimes I) = v e c (- 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T})^{T}

$-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)=\mathop{\mathrm{vec}}(-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)^T$

J_{X} (a) = d i a g (v e c (a^{'} (b (X Γ_{1}))))

$J_X(a)=\mathop{\mathrm{diag}}(\mathop{\mathrm{vec}}(a^\prime(b(X\Gamma_1))))$

\nabla_{β} R = (I \otimes e_{N}^{T}) v e c (a^{'} (b (X Γ_{1})) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T}) = e_{N}^{T} (a^{'} (b (X Γ_{1})) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T})

$\nabla_\beta R=(I\otimes e_N^T)\mathop{\mathrm{vec}}(a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)=e_N^T(a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)$ через ідентичність . Аналогічно where ("заглушка") і -

v e c (A X B) = (B^{T} \otimes A) v e c (X)

$\mathop{\mathrm{vec}}(AXB)=(B^T\otimes A)\mathop{\mathrm{vec}}(X)$

\begin{aligned} \nabla_{γ} R & = [- 2 \hat{ϵ} (Γ_{2}^{T} \otimes I) J_{X} (a) (Σ_{X Γ_{1}}^{- 1 / 2} \otimes (X Γ_{1} - e_{N} μ_{X Γ_{1}}^{T})) K]^{T} \\ = K^{T} v e c ((X Γ_{1} - e_{N} μ_{X Γ_{1}}^{T})^{T} W Σ_{X Γ_{1}}^{- 1 / 2}) \\ = d i a g ((X Γ_{1} - e_{N} μ_{X Γ_{1}}^{T})^{T} W Σ_{X Γ_{1}}^{- 1 / 2}) \end{aligned}

$\begin{align}\nabla_\gamma R&=[-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)J_X(a)(\Sigma_{X\Gamma_1}^{-1/2}\otimes (X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T))K]^T\\&=K^T\mathop{\mathrm{vec}}((X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T)^TW\Sigma^{-1/2}_{X\Gamma_1})\\&=\mathop{\mathrm{diag}}((X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T)^TW\Sigma^{-1/2}_{X\Gamma_1})\end{align}$

W = a^{'} (b (X Γ_{1})) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T}

$W=a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T$

K

$K$

N p \times p

$Np\times p$ двійкова матриця, яка вибирає стовпці продукту Kronecker, відповідні діагональним елементам квадратної матриці. Це випливає з того, що . На відміну від першого градієнта, цей вираз не еквівалентний виведеному вами виразом. Враховуючи, що є лінійною функцією wrt , в градієнті не повинно бути коефіцієнта . Я залишаю градієнт до ОП, але скажу, що для деривації з фіксованим створюється "вибух", який письменники статті прагнуть уникнути. На практиці вам також знадобиться знайти та wrt

d Γ_{i \neq j} = 0

$d\Gamma_{i\neq j}=0$

b

$b$

γ_{i}

$\gamma_i$

γ_{i}

$\gamma_i$

Γ_{1}

$\Gamma_1$

w

$w$

Σ_{X}

$\Sigma_X$

μ_{X}

$\mu_X$

X

$X$ і використовувати правило про товар.

— deasmhumnha
джерело