Розподіл коефіцієнта Гаусса: Похідні wrt, що лежать в основі 's та s

Я працюю з двома незалежними нормальними розподілами і із засобами та та дисперсіями та .$X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Я зацікавлений в розподілі їх відносини . Ні ні не мають середнього нуля, тому не розподіляється як Коші.$Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

Мені потрібно знайти CDF від , а потім взяти похідну CDF відносно , , та .$Z$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Хтось знає папір, де вони вже були підраховані? Або як це зробити самостійно?

Я знайшов формулу CDF у статті 1969 року , але прийом цих похідних, безумовно, буде величезним болем. Можливо, хтось це вже зробив чи знає, як це зробити легко? В основному мені потрібно знати ознаки цих похідних.

Цей документ також містить аналітично простіше наближення, якщо переважно позитивний. Я не можу мати таке обмеження. Однак, можливо, наближення має той самий знак, що і справжня похідна, навіть поза діапазоном параметрів?$Y$

Деякі супутні документи:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Подумайте про використання символічного математичного пакету, наприклад, Mathematica, якщо у вас є ліцензія, або Sage, якщо у вас немає.

Якщо ви просто займаєтеся числовою роботою, ви можете також просто розглянути числову диференціацію.

Хоча нудно, воно виглядає прямо вперед. Тобто, усі функції, що беруть участь, мають легко обчислити похідні. Ви можете використовувати числову диференціацію для перевірки результату, коли будете готові, щоб переконатися, що ви маєте правильну формулу.

Це така проблема, яка дуже легко чисельно, а також менш схильна до помилок. Оскільки ви говорите, що вам потрібні лише знаки, я вважаю, що точні числові наближення більш ніж достатні для ваших потреб. Ось код з прикладом похідної проти : $\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}