Якщо і є незалежними звичайними змінними, кожна зі середнім нулем, то також є звичайною змінною

Я намагаюся довести твердження:

Якщо і є незалежними випадковими змінними,$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$$Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

тоді також є Нормальною випадковою змінною.$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Для особливого випадку (скажімо), маємо добре відомий результат, що кожного разу, коли X і Y є незалежними \ mathcal {N} (0, \ sigma ^ 2) . Насправді загальновідомо, що \ frac {XY} {\ sqrt {X ^ 2 + Y ^ 2}}, \ frac {X ^ 2-Y ^ 2} {2 \ sqrt {X ^ 2 + Y ^ 2}} - незалежні \ mathcal {N} \ ліві (0, \ frac {\ sigma ^ 2} {4} \ праворуч) .$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$$X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Доведення останнього результату випливає з перетворення $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ де $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ і $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ . Дійсно, тут $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ і $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ . Я намагався наслідувати цей доказ для проблеми, яка існує, але, здається, вона стає брудною.

Якщо я не допустив жодної помилки, то для $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ я закінчую щільність з'єднання $(U,V)$ як

У мене є множник вище, оскільки перетворення не є однозначним.$2$

Тож щільність буде задана , що не легко оцінюється.∫ R f U , V ( u , v $U$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Тепер мені цікаво дізнатись, чи є докази того, що я можу працювати лише з і не потрібно вважати деякий щоб показати, що - це нормально. Пошук CDF не здається мені настільки перспективним. Я також хотів би зробити те ж саме для випадку .V U U σ 1 = σ 2 = $U$$V$$U$$U$$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Тобто, якщо і є незалежними змінними я хочу показати, що без використання змінних змінних. Якщо я можу якось заперечити, що , то я закінчую. Тож два питання тут, загальна справа, а потім конкретна справа.Y N ( 0 , σ 2 ) Z = 2 X $X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$Zd=$Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z\stackrel{d}{=}X$

Пов’язані публікації на Math.SE:

$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ коли незалежно$X,Y\sim N(0,1)$ .

Враховуючи, що - iid , покажіть, що - iid$X,Y$$N(0,1)$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$N(0,\frac{1}{4})$ .

Редагувати.

Ця проблема насправді пов’язана з Л. Шеппом, як я з'ясував у вправах « Вступ до теорії ймовірностей та її застосувань» (т. II) Феллера, разом з можливим підказом:

Безумовно, і у мене щільність під рукою.$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$$\frac{1}{X^2}$

Подивимось, що я міг би зробити зараз. Крім цього, небагато допомоги з інтегралом вище також вітається.

Оригінальне рішення проблеми Шеппом використовує концепцію властивості стабільного права, яка мені здається трохи передовою на даний момент. Тож я не міг зрозуміти натяк, що дається у вправі, яку я цитував у своєму пості. Я здогадуюсь доказ, що включає лише одну змінну і не використовувати зміну змінних складно придумати. Тож я ділюсь трьома відкритими документами із відкритим доступом, які пропонують альтернативне рішення проблеми:$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

• Примітка про нормальні функції нормальних випадкових змінних

• Нормальні функції Нормальних випадкових величин

• Результат Шеппа

Перший один переконав мене не йти по шляху інтеграції , я взяв з цим вибором змінної , щоб отримати щільність U . Це третій документ, схожий на те, що я можу слідувати. Я даю короткий нарис доказу тут:$V$$U$

Будемо вважати без втрати спільності , а задаємо σ 2 2 = σ 2 . Тепер зазначимо, що X 2 ∼ χ 2 1 і Y $\sigma_1^2=1$$\sigma_2^2=\sigma^2$$X^2\sim\chi^2_1$ незалежні, маємо щільність суглоба(X2,Y2). Позначимо його черезfX2,Y2.$\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$$(X^2,Y^2)$$f_{X^2,Y^2}$

Розглянемо перетворення таким, що W = X 2 Y $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ іZ=X2+Y$W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ . Отже, маємо щільність суглоба(W,Z). Позначимо йогофW,Z. Дотримуючись стандартною процедурою, ми інтегруємоеW,ZWRT догщоб отримати максимальну щільністьфWвW.$Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$$(W,Z)$$f_{W,Z}$$f_{W,Z}$$z$$f_W$$W$

Ми знаходимо, що - змінна Gamma з параметрами $W=U^2$ і2(1+$\frac{1}{2}$, так що(1+$2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ . Зауважимо, що щільність U симетрична приблизно 0 . З цього випливає, що ( 1 + $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$$U$$0$, а значить,U∼N(0, ( $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$.$U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

відповідно до цього

Перетворення двох нормальних випадкових величин

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ .
$X$ і$Y$ незалежні$\Leftrightarrow$ $\theta$ і$r$ незалежні.

також $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ що $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$оскільки $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

подібний для інших.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

щоб ми могли показати:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ і$Y=\sigma r \sin(\theta)$

так

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

проявляти незалежність

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$і легко сказати, що вони незалежні.