Чому нас не хвилює, якщо процес MA не є зворотним?

У мене виникають труднощі з розумінням того, чому нас хвилює, чи є процес МА перевернутим чи ні.

Будь ласка, виправте мене, якщо я помиляюся, але я можу зрозуміти, чому нас хвилює, чи причиною є процес AR, тобто якщо ми можемо "переписати його", так би мовити, як сума якогось параметра і білого шуму - тобто ковзний середній процес. Якщо так, ми можемо легко побачити, що процес AR є причинним.

Однак у мене виникають проблеми з розумінням того, чому нас хвилює, чи можемо ми представляти процес МА як процес AR, показуючи, що він є зворотним. Я не дуже розумію, чому нас хвилює.

Будь-яке розуміння було б чудово.

— agra94
джерело

Оберненість насправді не є великою справою, оскільки майже будь-яка гауссова неперевернута модель MA може бути змінена на інвертовану модель MA представляє той самий процес, змінюючи значення параметрів. Це згадується в більшості підручників для моделі MA (1), але це правда в більш загальному вигляді. $(q)$ $(q)$

Як приклад, розглянемо модель MA (2) де - білий шум з дисперсією . Це не обернена модель, оскільки має один корінь, рівний 0,5 всередині одиничного кола. Однак розглянемо альтернативну модель MA (2), отриману шляхом зміни цього кореня на його зворотне значення 2, так що модель має вигляд де має варіацію . Ви можете легко переконатися, що обидві моделі (1) і (2) мають однакові функції автоковаріації, і, отже, вказати однаковий розподіл для даних, якщо процес є гауссовим.

\begin{matrix} (1) & z_{т} = (1 - 0,2 Б) (1 - 2 Б) ш_{т}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$

w_{t}

$w_t$

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$

θ (B)

$\theta(B)$

\begin{matrix} (2) & z_{т} = (1 - 0,2 Б) (1 - 0,5 Б) ш_{т}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$

w_{t}^{'}

$w_t'$

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$

Щоб зробити модель такою, яку можна ідентифікувати таким чином, що існування відображення від до розподілу даних, простір параметрів, таким чином, умовно обмежується цим обертових моделей. Ця конвенція є кращою, оскільки модель тоді може бути розміщена безпосередньо у формі AR з коефіцієнтами задовольняють простому різницевому рівнянню . $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ $(\infty)$ $\pi_1,\pi_2,\dots$ $\theta(B)\pi_i=0$

Якби ми не нав'язували це обмеження простору параметрів, вірогідна функція MA як правило, мала б до локальної оптими (якщо поліном MA має різних реальних коренів), чого ми хочемо уникати. $(q)$ $2^q$ $q$

Ви завжди можете переміщувати коріння зсередини назовні одиничного кола з відповідною зміною дисперсії білого шуму, використовуючи вищевказану методику, за винятком випадків, коли МА-поліном має одне або більше коренів саме на одиничному колі.

— Джарле Туфто
джерело

Дуже цікаво!

— Річард Харді

Так, я не знаю, чому це не викладено більш чітко в підручниках. Ви можете бачити, що цей "трюк" використовується функцією maInvertвсередині функції R, arimaщоб переконатися, що оцінки параметрів відповідають оберненій моделі.

— Jarle Tufto