Чому ?

15

Я гадаю, що

P (A | B) = P (A | B, C) * P (C) + P (A | B, \neg C) * P (\neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$

правильно, тоді як

P (A | B) = P (A | B, C) + P (A | B, \neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$

невірно.

Однак у мене з’явилася «інтуїція» щодо пізнішої, тобто ви враховуєте ймовірність P (A | B), розділивши два випадки (C або Not C). Чому ця інтуїція неправильна?

probability bayesian

— зел
джерело

4

Ось простий приклад для перевірки рівнянь. Киньте дві незалежні, чесні монети. Нехай - це подія, що першими піднімаються голови, - це подія, що друга придумує голови, а - подія, в якій обидва піднімають голови. Чи правильне будь-яке рівняння, яке ви написали?

A

$A$

B

$B$

C

$C$

— А. Рекс

4

Закон повної ймовірності говорить , що якщо ви хочете , щоб висловити безумовну ймовірність як сума умовних ймовірностей, ви повинні обтяжувати разі кондиціонування: наприклад

P (A) = P (A | B) P (B) + P (A | \bar{B}) P (\bar{B})

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$

— АдамО

25

Припустимо, в якості простого прикладу лічильника, що ймовірність з є , незалежно від значення . Потім, якщо ми візьмемо неправильне рівняння , отримаємо: $P(A)$ $A$ $1$ $C$

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

Це, очевидно, не може бути правильним, ймовірно, не може бути більше . Це допомагає побудувати інтуїцію, що ви повинні присвоїти вагу кожному з двох випадків, пропорційному тому, наскільки вірогідний той випадок ~~, в результаті якого вийде перше (правильне) рівняння.~~ . $1$

Це наближає вас до вашого першого рівняння, але ваги не зовсім правильні. Див. Коментар А. Рекса щодо правильної ваги.

— Денніс Сомерс
джерело

1

Чи повинні ваги у "першому (правильному) рівнянні" бути і , або вони повинні бути і ?

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

P (C ∣ B)

$P(C\mid B)$

P (\neg C ∣ B)

$P(\neg C\mid B)$

— А. Рекс

@ A.Rex Це хороший момент, для повної коректності я думаю, що це повинно бути і . Все (лише один термін) з лівого боку рівняння передбачає, що задано , тому без додаткових припущень (на зразок припущення, що і є незалежними один від одного), те саме повинно бути і справа -бічна сторона

P (C | B)

$P(C | B)$

P (\neg C | B)

$P(\neg C | B)$

B

$B$

B

$B$

C

$C$

— Денніс Сомерс

Подумайте лише, що A | B на 200% впевнений, що трапиться.

— Марк Л. Стоун

@ MarkL.Stone Це означає, що це завжди відбувається двічі? ;)

— Відновіть Моніку

9

Відповідь Денніса має чудовий зустрічний приклад, який спростовує неправильне рівняння. Ця відповідь прагне пояснити, чому таке рівняння правильне:

P (A | B) = P (A | C, B) P (C | B) + P (A | \neg C, B) P (\neg C | B) .

$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$

Оскільки кожен доданок обумовлений , ми можемо замінити весь вірогідний простір на і скинути доданок. Це дає нам: $B$ $B$ $B$

P (A) = P (A | C) P (C) + P (A | \neg C) P (\neg C) .

$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$

Тоді ви запитуєте, чому це рівняння містить у собі значення та . $P(C)$ $P(\neg C)$

Причина полягає в тому, що - це частина в а є частиною в і два складаються до . Див. Схему. З іншого боку, - частка що містить а - частка що містить - це пропорції різних регіонів, тому вони не мають спільних знаменників тому додавати їх безглуздо. $P(A|C) P(C)$ $A$ $C$ $P(A|\neg C) P(\neg C)$ $A$ $\neg C$ $A$ $P(A|C)$ $C$ $A$ $P(A|\neg C)$ $\neg C$ $A$

— Відновіть Моніку
джерело

2

Не "все обумовлено ". Зокрема, і не є, так що ви не можете просто кинути . Більше того, це може припустити, що рівняння є неправильним!

B

$B$

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

B

$B$

— А. Рекс

@ A.Rex Технічно ви маєте рацію, я повинен був би сказати, що кожен член, що включає , обумовлений (я зробив просту заміну ). Я виправлю відповідь.

A

$A$

B

$B$

A | B \to A

$A|B \rightarrow A$

— Відновіть Моніку

5

Моє заперечення було не технічним. Ваша діаграма правильно доводить, що , який після кондиціонування на стає ; зауважимо , що ймовірності і також обумовлена . Це не перше рівняння, подане в ОП, що є хорошою новиною, оскільки перше рівняння, подане в ОП, є невірним.

P (A) = P (A ∣ C) P (C) + P (A ∣ \neg C) P (\neg C)

$P(A) = P(A\mid C) P(C) + P(A\mid\neg C) P(\neg C)$

B

$B$

P (A ∣ B) = P (A ∣ B, C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B, \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A\mid B) = P(A\mid B,C) P(C\mid B) + P(A\mid B,\neg C) P(\neg C\mid B)$

C

$C$

\neg C

$\neg C$

B

$B$

— А. Рекс

@ A.Rex Ви право ще раз, повинен також обумовлені , як частка імовірнісного простору , що міститься в не може бути таким же , як частка міститься в . Цей момент уникнув мене. Я ще раз перегляну.

C

$C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

— Відновіть Моніку

7

Я знаю, що ви вже отримали дві чудові відповіді на своє запитання, але я просто хотів зазначити, як ви можете перетворити ідею своєї інтуїції у правильне рівняння.

Спочатку пам’ятайте, що і рівнозначно . $P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ $P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$

Щоб уникнути помилок, ми використаємо перше рівняння в попередньому абзаці, щоб усунути всі умовні ймовірності, потім збережемо перезаписи виразів, що включають перехрестя та об'єднання подій, а потім використаємо друге рівняння в попередньому абзаці, щоб повторно ввести умови в кінці . Таким чином, ми почнемо з:

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ми будемо продовжувати переписувати праворуч, поки не отримаємо потрібне рівняння.

Справа в вашій інтуїції розширює подію на , в результаті чого $A$ $(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$

P (A ∣ B) = \frac{P (((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$

Як і у множинах, перетин розподіляється по об'єднанню:

P (A ∣ B) = \frac{P ((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$

Оскільки обидві події, об'єднані в чисельнику, взаємно виключають (оскільки і не може статися обох), ми можемо використовувати правило суми: $C$ $\neg C$

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A \cap B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$

Тепер ми бачимо, що ; таким чином, ви можете використовувати правило суми щодо події на подію, що цікавить ("ліва" частина умовної панелі), якщо ви збережете дану подію ("праву" сторону) однаковою. Це може бути використане як загальне правило і для інших доказів рівності. $P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$

Повторно вводимо потрібні умови, використовуючи друге рівняння у другому абзаці: і аналогічно для .

P (A \cap (B \cap C)) = P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)

$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$

\neg C

$\neg C$

Підключимо це до нашого рівняння для як: $P(A \mid B)$

P (A ∣ B) = \frac{P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A ∣ B \cap \neg C) P (B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$

Зауваживши, що (і аналогічно для ), ми нарешті отримуємо $\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ $\neg C$

P (A ∣ B) = P (A ∣ B \cap C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B \cap \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$

Яке правильне рівняння (хоча і з дещо різними позначеннями), включаючи виправлення А. Рекса.

Зверніть увагу, що перетворився на . Це відображає рівняння , додаючи умову не тільки і , а й також. Я думаю, що якщо ви будете використовувати звичні правила щодо умовних ймовірностей, вам потрібно додати умову до всіх ймовірностей у правилі. І якщо є сумніви, чи працює ця ідея в конкретній ситуації, ви завжди можете розгорнути умови, щоб перевірити, як я це зробив для цієї відповіді. $P(A \cap C \mid B)$ $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$ $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ $B$ $P(A \cap C)$ $P(A \mid C)$ $P(C)$

— YawarRaza7349
джерело

2

+1. Я думаю, ви витягли рівняння, яке ОП намагався інтуїтувати: .

P (A ∣ B) = P (A \cap C ∣ B) + P (A \cap \neg C ∣ B)

$P(A\mid B)=P(A\cap C\mid B)+P(A\cap\neg C\mid B)$

— А. Рекс

Спасибі! Це було головним моментом, який я хотів зробити, але не зміг зрозуміти пояснення на високому рівні, чому перехрестя йде ліворуч, а не праворуч, тому я замість цього використовував формули. Крім того, я щойно помітив, що ти був тим, хто вказав на помилку у формулі ОП, тож я за це тебе зачитав. (Мабуть, я б і не помітив, лол.)

— YawarRaza7349

2

Ймовірності - відношення; ймовірність A задана B - як часто A трапляється в просторі B. Наприклад, - це кількість дощових днів у березні, поділене на кількість загальних днів березня. Маючи справу з дробами, має сенс розділити числівники. Наприклад, $P(\text{rain|March})$

\begin{aligned} P (rain or snow|March) & = \frac{(number of rainy or snowy days in March)}{(total number of days in March)} \\ = \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} + \\ \frac{(number of snowy days in March)}{(total number of days in March)} \\ = P (rain|March) + P (snow|March) \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$

Звичайно, це передбачає, що "сніг" і "дощ" взаємно виключають один одного. Однак не має сенсу розділяти знаменники. Отже, якщо у вас , це дорівнює $P(\text{rain|February or March})$

\frac{(number of rainy days in February and March)}{(total number of days in February and March)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$

Але це не дорівнює

\frac{(number of rainy days in February)}{(total number of days in February)} + \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$

Якщо у вас виникли проблеми з цим, ви можете спробувати деякі цифри. Припустимо, у лютому є 10 дощових днів та 8 березня. Тоді маємо

\frac{(number of rainy days in February and March)}{(total number of days in February and March)} = (10 + 8) / (28 + 31) = 29.5 %

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$

і

\begin{aligned} \frac{(number of rainy days in February)}{(total number of days in February)} + \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} & = (10 / 28) + (8 / 31) \\ = 35.7 % + 25.8 % \\ = 61.5 % \end{aligned}

$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$

Перше число - 29,5% - це середнє значення 35,7% та 25,8% (друге число зважило трохи більше, оскільки в березні більше днів). Коли ви кажете ви говорите, що $P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ , що хибно. $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$

— Накопичення
джерело

1

Якщо я поїду до Іспанії, я можу отримати сонячні опіки. Це нічого не говорить про отримання сонячних опіків, якщо ви не їдете в Іспанію, скажімо, Цього року я їду до Іспанії, тому

P (s u n b u r n t | S p a i n) = 0.2

$P(sunburnt | Spain)=0.2$

P (s u n b u r n t | \neg S p a i n) = 0.1

$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$

P (s u n b u r n t) = 0.2

$P(sunburnt)=0.2$

B = Ω

$B=\Omega$

P (B) = 1

$P(B)=1$

P (A) = P (A | C) + P (A | \neg C)

$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$

— шерифе
джерело