Як працює стандартна помилка?

Нещодавно я розглядав внутрішню розробку стандартної помилки і виявив, що не можу зрозуміти, як це працює. Моє розуміння стандартної помилки полягає в тому, що це стандартне відхилення розподілу засобів вибірки. Мої запитання:

• як ми знаємо, що стандартна помилка - це стандартне відхилення вибірки, коли ми зазвичай беремо лише один зразок?

• чому рівняння не обчислює стандартне дзеркальне відображення рівняння стандартного відхилення для одного зразка?

Так, стандартна похибка середнього значення (SEM) - це стандартне відхилення (SD) засобу. (Стандартна помилка - це ще один спосіб сказати SD розподілу вибірки. У цьому випадку розподіл вибірки є засобом для зразків фіксованого розміру, скажімо, N.) Існує математична залежність між SEM і сукупністю SD: SEM = населення SD / квадратний корінь N. Цей математичний взаємозв'язок дуже корисний, оскільки ми майже ніколи не маємо прямої оцінки SEM, але у нас є оцінка кількості населення SD (а саме SD нашого зразка). Що стосується вашого другого запитання, якщо ви збирали кілька зразків розміром N і обчислювали середнє значення для кожного зразка, ви могли б оцінити SEM, просто обчисливши SD засобів. Таким чином, формула для SEM дійсно відображає формулу для SD одного зразка.

Припустимо, є незалежними та однаково розподіленими. Це ситуація, на яку я майже впевнений. Нехай їх загальна середня буде μ, а їх спільна дисперсія - σ 2 .$X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$

Тепер середнє значення вибірки дорівнює . Лінійність очікування показує, що середнє значення X b також μ . Припущення про незалежність означає, що дисперсія X b є сумою дисперсій його доданків. Кожен такий член X i / n має дисперсію σ 2 / n 2 (тому що дисперсія постійної величини випадкової величини є постійною квадратом, меншою від дисперсії випадкової величини). Ми маємо $X_b=\sum_i X_i/n$$X_b$$\mu$$X_b$$X_i/n$$\sigma^2/n^2$$n$ідентично розподілені такі змінні для підсумовування, тому кожен член має ту саму дисперсію. В результаті отримуємо для дисперсії середнього зразка.$n \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$

Зазвичай ми не знаємо і тому ми повинні оцінювати це з даних. Залежно від налаштування, існують різні способи зробити це. Дві найпоширеніші оцінки загального призначення σ 2 - це дисперсія вибірки s 2 = $\sigma^2$$\sigma^2$ $s^2 = \frac{1}{n}\sum_i(X_i-X_b)^2$$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2$$\sigma^2$$\sigma^2$$s/\sqrt{n}$$s_u/\sqrt{n}$

$$\sigma^2_{\bar x}=\frac{\sigma^2_{pop}}{n_j},$$ $\sigma^2_{pop}$$n_j$$F$ $$F=\frac{n_j\times s^2_{\bar x}}{s^2_{\text{pooled within group}}}$$ $$s^2_{\bar x}=\frac{\sum_{j=1}^{n_j}(\bar x_j-\bar x_.)^2}{n_j-1},$$ $x_.$

Зважаючи на те, що ми зазвичай вважаємо, що нульова гіпотеза не відповідає дійсності, точка @ JoelW. є правильною, але я працюю над цим пунктом, тому що я думаю, що ясність, яку вона надає, є корисною для розуміння цих питань.