Які існують розподіли по симплексу ймовірностей?

Нехай - симплекс вірогідності розмірності K - 1 , тобто x ∈ Δ K такий, що x i ≥ 0 і ∑ i x i = 1 .$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

Які розподіли, які часто (або добре відомі, або визначені раніше) протягом існують?$\Delta_{K}$

Зрозуміло, що існують дистрибуції Діріхле та Логіт-Нормальні. Чи є якісь інші розподіли, які природно з'являються в цьому контексті?

Це вивчається при композиційному аналізі даних, є книга Айчісона: Статистичний аналіз композиційних даних .

Визначте симплекс через

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ Зауважте, що ми використовуємо індекс $n$ для позначення розмірності! Визначте середнє значення геометричного елемента симплексу,$x$ як$\tilde{x}$ . Тоді ми можемо визначити перетворення logratio (введене Aitchison) як$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$ . Це перетворення знаходиться на${\mathbb R}^n$, тому майте зворотну інформацію, яку я залишаю вам для обчислення (Є й інші версії цього перетворення, які можна використовувати, які, можливо, мають кращі математичні властивості, про це пізніше).

${\mathbb R}^n$${\mathbb R}^n$

Я додам цей пост пізніше кількома прикладами та детальніше про перетворення коефіцієнта журналу.