Чи зберігається стаціонарність при лінійному поєднанні?

Уявіть, у нас є два часові ряди процесів, які є стаціонарними, виробляючи: .$x_t,y_t$

Чи , також нерухомий? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Будь-яка допомога буде вдячна.

Я б сказав, що так, оскільки він має представництво MA.

Можливо, дивно, це неправда. (Незалежність двох часових рядів зробить це правдою.)

Я розумію, що "стабільний" означає стаціонарний, тому що ці слова, здається, вживаються взаємозамінно у мільйонах пошукових запитів, включаючи принаймні один на нашому сайті .

Для контрприкладу нехай - нестабільний стаціонарний часовий ряд, для якого кожен не залежить від , і граничні розподіли яких симетричні навколо . Визначте$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Ці сюжети показують частини трьох часових рядів, обговорених у цій публікації. моделювали у вигляді серії незалежних малюнків зі стандартного нормального розподілу.$X$

Щоб показати, що нерухомий, нам потрібно продемонструвати, що спільний розподіл для будь-якого не залежить від . Але це випливає безпосередньо із симетрії та незалежності . $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Ці відстаючі розсіювачі (для послідовності 512 значень ) ілюструють твердження, що спільні двовимірні розподіли є такими, як очікувалося: незалежними та симетричними. ("Запізнілий розсіювач" відображає значення проти ; показано значення .)$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Тим не менш, вибираючи , ми маємо$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

для рівних інакше$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Оскільки є непостійним, очевидно, що ці два вирази мають різні розподіли для будь-яких і , звідки ряд не є стаціонарним. Кольори на першій фігурі підкреслюють цю нестаціонарність у , відмежуючи нульові значення від решти.$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Розглянемо двовимірний процес

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Якщо воно є строго стаціонарним, або в якості альтернативи, якщо процеси і є спільно строго стаціонарним , то процес , утворений будь-вимірної функції також буде суворо нерухомим.$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

У прикладі @ whuber ми маємо

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Щоб перевірити, чи є цей строго нерухомим, ми повинні спочатку отримати його розподіл ймовірностей. Припустимо, що змінні абсолютно суцільні. Для деяких нас є$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Дотримуючись прикладу Ваубера, дві гілки є різними розподілами ймовірностей, оскільки має симетричний розподіл навколо нуля. $x_t$

Тепер, щоб вивчити сувору стаціонарність, змістіть індекс на ціле число . Ми маємо$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Для суворої стаціонарності ми повинні мати

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

І у нас немає такої рівності , тому що, скажімо, якщо парне, а непарне, то непарне, в цьому випадку$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

поки

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Тож у нас немає спільної суворої стаціонарності, і тоді ми не маємо гарантій того, що буде з функцією . $f(x_t,y_t)$

Я маю зазначити, що залежність між та є необхідною, але не достатньою умовою втрати спільної суворої стаціонарності. Це додаткове припущення про залежність від індексу.$x_t$$y_t$$y_t$

Розглянемо

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Якщо попередню роботу для то виявиться, що спільна сувора стаціонарність дотримується тут$(q_t)$

Це хороша новина, оскільки процес, який залежить від індексу та бути суворо нерухомим, не є серед припущень моделювання, які нам потрібно робити дуже часто. На практиці, тому, якщо ми маємо граничну сувору стаціонарність, ми очікуємо також спільної суворої стаціонарності навіть за наявності залежності (хоча, звичайно, слід перевірити.)

Я б сказав, що так, оскільки він має представництво MA.

Одне спостереження. Я думаю, що наявність представництва MA означає слабку стаціонарність, а не впевненість, чи має на увазі сильну стаціонарність.