Я намагаюся моделювати та прогнозувати часові ряди, які є циклічними, а не сезонними (тобто є сезонні структури, але не з фіксованим періодом). Це має бути можливо зробити, використовуючи модель ARIMA, як зазначено в розділі 8.5 Прогнозування: принципи та практика :

Значення важливо, якщо дані показують цикли. Для отримання циклічних прогнозів необхідно мати параметри разом з деякими додатковими умовами щодо параметрів. Для моделі AR (2) циклічна поведінка виникає, якщо .$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Які ці додаткові умови щодо параметрів у загальному випадку ARIMA (p, d, q)? Я не зміг їх знайти ніде.

Якась графічна інтуїція

У моделях AR циклічна поведінка походить від складних коньюгованих коренів до характерного многочлена. Щоб спочатку дати інтуїцію, я побудував нижче функції імпульсного реагування на двох прикладних моделях AR (2).

1. Стійкий процес зі складними коренями.
2. Стійкий процес із справжніми коренями.

Для , Коріння характерного многочлена є де це власні значення матриці я визначаю нижче. З комплексом пов'язаних власних значень і , то управляє загасанням (де ) і керує частотою косинусоїди.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Детальний приклад AR (2)

Припустимо, у нас є AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Ви можете написати будь-яку AR (p) у вигляді VAR (1) . У цьому випадку представлення VAR (1) - це:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ Матриця керує динамікою і, отже, . Характерним рівнянням матриці є: Власні значення становлять: вектори : $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Зверніть увагу, що . Формування власного значення розкладання та підвищення до ї потужності. $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Справжнє власне значення призводить до занепаду, коли ви піднімаєте . Власні значення з ненульовими уявними компонентами призводять до циклічної поведінки.$\lambda$$\lambda^k$

Власні значення з випадковим випадком складової:$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

У контексті AR (2) ми маємо складні власні значення, якщо . Оскільки справжній, вони повинні складатися парами, які є складними кон'югатами один одного.$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

Дотримуючись глави 2 Прадо і Заходу (2010), нехай

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Ви можете показати прогноз ім'я задається:$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Якщо говорити вільно, додавання складних кон'югатів скасовує їх уявний компонент, залишаючи вас однією затухаючою косинусною хвилею в просторі реальних чисел. (Зверніть увагу, для стаціонарності ми повинні мати .)$0 \leq r < 1$

Якщо ви хочете знайти , , , , почніть з формули Ейлера, що , ми можемо записати:$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

Додаток

Примітка Заплутане термінологічне попередження! Відношення характеристичного многочлена A до характерного многочлена AR (p)

Ще одна хитрість часового ряду - використовувати оператор відставання для запису AR (p) як:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Замініть оператор затримки на деяку змінну і люди часто посилаються на як на характерний поліном моделі AR (p). Як говориться в цій відповіді , це саме характерний многочлен де . Коріння є взаємними власними значеннями. (Примітка: для того, щоб модель була нерухомою, ви хочете , тобто всередині одиничного кола, або еквівалентно , тобто поза одиничним колом.)$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Список літератури

Прадо, Рекель і Майк Вест, часові серії: Моделювання, обчислення та умовиводи , 2010