Очікуване значення log-детермінанта матриці Вішарта

Нехай , тобто розподілений відповідно до розмірного розподілу Wishart зі середнім та ступенем свободи . Я б хотів вираз для деє визначальним. $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

Я google'd трохи для відповіді на це і отримав деяку суперечливу інформацію. У цьому документі прямо вказано, що де позначає функцію digamma ; у статті не дається джерела цього факту, наскільки я можу сказати. Це також формула, яка використовується на сторінці вікіпедії для Вішарта , на якій розміщено текст розпізнавання шаблону владики.

Е (журнал | Λ |) = D журнал 2 + журнал | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

З іншого боку, google розгорнув цю дискусію з пов'язаним документом, в якому говориться, що Вони роблять висновок про те, що що виводиться за допомогою того, що . Я перевірив цей розрахунок, починаючи з і це здається нормальним, але у нас є додатковий .

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

Е (журнал | Λ |) = D журнал 2 - D журнал ν + журнал | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— хлопець
джерело

Коли я готувався до цього повідомлення, я зміг відповісти на власне запитання. Відповідно до загального етикету StackExchange, я вирішив опублікувати його в будь-якому випадку, сподіваючись, що хтось інший, хто зіткнеться з цією проблемою, може виявити це в майбутньому, можливо, після того, як зіткнуться з тими ж проблемами, що і я. Я вирішив відповісти на це негайно, щоб ніхто не витрачав на це часу, оскільки рішення не цікаве.

помиляється, оскільки документ, на який посилається дискусія, використовував іншу параметризацію Вішарта; це не помітили обговорювачі. Те, що ми насправді повинні мати, є $(\dagger)$ Після цього виправлення дві формули призводять до тієї самої відповіді.

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

У будь-якому випадку, я думаю, що цікаві стосунки. $(\dagger\dagger)$

Редагувати:

$\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— хлопець
джерело

Мені більше подобається версія Чолеського - у вас квадратний корінь хі-квадрата по діагоналі і стандартний нормальний в нижньому трикутнику.

— ймовірністьлогічний

@probabilityislogic Дякую за пораду! Пам’ятати про нього подібне здається простіше і корисніше.

— хлопець

Гей, я намагаюся отримати очікування журналу Вішарта (зазначеного в книзі Єпископа), який виглядає складно, чи знайшли ви якесь джерело для отримання результату?

— авокадо