Вираз закритої форми для квантилів

У мене є дві випадкові величини, $\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$ де$U(0,1)$ - рівномірний розподіл 0-1.

Потім, вони дають процес, скажімо:

$$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$$

Тепер мені було цікаво, чи існує вираз закритої форми для $F^{-1}(P(x);0.75)$ теоретичного 75-відсоткового квантиля $P(x)$ для заданого $x\in(0,2\pi)$ якщо припустити, що я можна зробити це за допомогою комп’ютера та багатьох реалізацій $P(x)$ , але я вважаю за краще закриту форму--

Ця проблема може бути швидко зведена до знаходження квантиля трапецієподібного розподілу .

Перепишемо процес як де U 1 і U 2 є iid U ( - 1 , 1 ) випадковими змінними; і за симетрією це має такий самийграничнийрозподіл, що і процес ¯ P ( x ) = U 1 ⋅ |

$$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$$ $U_1$$U_2$$\mathcal U(-1,1)$ Перші два доданки визначають симетричнутрапеційну щільність,оскільки це сума двох рівномірних випадкових величин середнього нуля (із загальною різницею півширини). Останній доданок якраз і призводить до перекладу цієї щільності, і квантил є еквівалентним щодо цього перекладу (тобто квантил зміщеного розподілу є зміщеним квантилем централізованого розподілу). $$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$$

Квантили трапецієподібного розподілу

Нехай де X 1 і X 2 є незалежними розподілами U ( - a , a ) і U ( - b , b ) . Припустимо, не втрачаючи загальності, що a ≥ b . Тоді щільність Y формується за рахунок згортання густин X 1 і X 2 . Це легко сприймається як трапеція з вершинами ( - $Y = X_1 + X_2$$X_1$$X_2$$\mathcal U(-a,a)$$\mathcal U(-b,b)$$a \geq b$$Y$$X_1$$X_2$ , ( - + б , 1 / 2 ) , ( - б , 1 / 2 ) і ( + б , 0 ) .$(-a-b,0)$$(-a+b,1/2a)$$(a-b,1/2a)$$(a+b,0)$

Квантиль розподілу , для будь-якого р < 1 / 2 , таким чином, д ( р ) : = д ( $Y$$p < 1/2$ В силу симетрії дляр>1/2, ми маємод(р)=-д(1-р).

$$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$$ $p > 1/2$$q(p) = - q(1-p)$

Назад до справи, що знаходиться під рукою

$|\sin x| \geq |\cos x|$$|\sin x| < |\cos x|$$2a$$2b$$\overline P(x)$

For $p < 1/2$, on $|\sin x| \geq |\cos x|$, we set $a = |\sin x|/2$ and $b=|\cos x|/2$ and get

$$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$$ and on $|\sin x| < |\cos x|$ the roles reverse. Similarly, for $p \geq 1/2$ $$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$$

The quantiles

Below are two heatmaps. The first shows the quantiles of the distribution of $P(x)$ for a grid of $x$ running from $0$ to $2\pi$. The $y$-coordinate gives the probability $p$ associated with each quantile. The colors indicate the value of the quantile with dark red indicating very large (positive) values and dark blue indicating large negative values. Thus each vertical strip is a (marginal) quantile plot associated with $P(x)$.

The second heatmap below shows the quantiles themselves, colored by the corresponding probability. For example, dark red corresponds to $p = 1/2$ and dark blue corresponds to $p=0$ and $p=1$. Cyan is roughly $p=1/4$ and $p=3/4$. This more clearly shows the support of each distribution and the shape.

Some sample R code

The function qproc below calculates the quantile function of $P(x)$ for a given $x$. It uses the more general qtrap to generate the quantiles.

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
} 

Below is a test with the corresponding output.

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924