Чи може бути задня ймовірність> 1?

У формулі Байєса:

P (x | a) = \frac{P (a | x) P (x)}{P (a)}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

чи може задня ймовірність перевищувати 1? $P(x|a)$

Я думаю, що це можливо, якщо, припустимо, що , і , і . Але я не впевнений у цьому, бо що це означало б, щоб ймовірність була більшою за одиницю? $0 < P(a) < 1$ $P(a) < P(x) < 1$ $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$

probability bayesian conditional-probability

— Томас Мур
джерело

Слід бути точним у визначенні позначень. Незрозуміло, що собою являє . Якщо - це (а) розподіл ймовірностей (у такому випадку множини і ) або (b) функція маси на дискретному просторі, то відповіді, які ви вже маєте, є по суті правильними. Якщо розуміється як функція щільності, то неправда, що . Причиною азотування є те, що всі три типи функцій відповідають правилу Байєса. Позначення зазвичай призначене для розподілу, але використання символів нижнього регістру для аргументів говорить про щільність.

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

a

$a$

x

$x$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

— хлопець

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$ тому задня ймовірність не може перевищувати . (Задня густина - інша справа - велика кількість безперервних розподілів має щільність, що перевищує для деяких значень)

1

$1$

1

$1$

— Генрі

Якщо обчислена задня частина перевищує одиницю, ви десь помилилися.

— Еміль М Фрідман

@EmilMFriedman, ваша відповідь неоднозначна (і, з цієї причини, потенційно шкідлива), оскільки вона не вказує, чи стосується вона "обчисленої задньої" ймовірності чи щільності.

— whuber

Бар'єр єдності у вірогідності може бути і порушений. Дивіться мій пост в stats.stackexchange.com/questions/4220 / ... .

— Марк Л. Стоун

Відповіді:

Передбачувані умови не виконують - ніколи не може бути правдою, що за визначенням умовної ймовірності : $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— хол
джерело

Ні, задня ймовірність не перевищує одиницю. Це було б порушенням нормувальної аксіоми теорії ймовірностей. Використовуючи правила умовної ймовірності, ви повинні мати:

P (a | x) = \frac{P (a, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (a)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

Це означає, що ви не можете мати вказані умови нерівності. (До речі, це гарне запитання. Добре, що ви досліджуєте закони ймовірності, шукаючи проблеми. Це показує, що ви вивчаєте ці питання з більшою ступінь жорсткості, ніж більшість студентів.)

Додатковий момент: Варто зробити ще один додатковий пункт щодо цієї ситуації, який стосується логічного пріоритету різних характеристик ймовірності. Пам'ятайте, що теорія ймовірностей починається з набору аксіом, які характеризують, що насправді є мірою ймовірності. З цих аксіом можна вивести "правила ймовірності", які є теоремами, отриманими з аксіом. Ці правила ймовірності повинні відповідати дійсним аксіомам. Якщо ви коли-небудь виявили, що правило ймовірності призводить до суперечності з однією з аксіом (наприклад, ймовірність простору вибірки більша за одиницю), це не фальсифікує аксіому - це фальсифікує правило ймовірності . Отже, навіть якщо б це було так правило Байеса можепривести до задньої ймовірності, більшої, ніж одна (це не так), це не означає, що ти можеш мати задню вірогідність більше одиниці; це просто означало б, що правило Байєса не є дійсним правилом вірогідності.

— Відновіть Моніку
джерело

Чи повинен кінцевий чисельник бути P (x)?

— BallpointBen

Ще показує для мене П (а)

— BallpointBen

У чисельнику він повинен бути P (a). Нерівність показує ОП, що він не може мати P (a | x)> P (a) / P (x), як він вказав у своєму питанні.

— Відновіть Моніку

Формула Байєса не може дати значення перевищує . Інтуїтивно зрозумілим способом є висловити через закон повної ймовірності як даючи, що яка показує, що чисельник - це лише один із доданків у сумі в знаменнику, і тому дріб не може перевищувати значення . $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)} = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$

1

$1$

— Діліп Сарват
джерело

+1 це для мене найпростіший доказ.

— Мехрдад

@Mehrdad Дякую Інші відповіді по суті доводять, що умовна ймовірність не може перевищувати через те, що не може перевищувати оскільки , і тому він повинен бути , що , і має мало відносини як такі до формули Байеса (як вона використовується в статистиці для виведення апостеріорного ймовірностей з попередніх ймовірностей ).

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$

1

$1$

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$

P (A)

$P(A)$

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$

— Діліп Сарват