Чи зберігаються ймовірності при перетворенні функції?

13

Я думаю, що це щось базове, але скажіть, у мене є випадкова величина , це ймовірність така сама, як для будь-якої реально оціненої безперервної функції ? $X$ $P(X \leq a)$ $P(f(X) \leq f(a))$ $f$

probability distributions

— Посилання L
джерело

1

Також: Як правило, .

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$

— Олексій

34

Це справедливо, лише якщо монотонно зростає. Якщо монотонно зменшується, то . Наприклад, якщо , а X - звичайний , то але . Якщо перемикається між збільшенням і зменшенням, то це ще складніше. $f$ $f$ $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ $f(x) = -x$ $P(X \leq 5) = \frac56$ $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$

Зауважимо, є також тривіальний випадок , в якому дорівнює 1, якщо і 0 в іншому випадку. $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ $a \geq 0$

— Накопичення
джерело

2

+1 Я повинен був додати ін'єкційний випадок, коли це правда.

— Стефан Лоран

39

Ні. Візьміть форму на і . Тоді . З іншого боку . $X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— Стефан Лоран
джерело

2

Це пов’язано із запитанням:

є для кожного ? $X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$

Можливо, існує багато способів порушення під час . Але, у всіх випадках, він вимагає, щоб було немонотонною функцією. $f(X) \leq f(a)$ $X \leq a$ $f$

— Секст Емпірік
джерело