Яке нормальне наближення багаточленного розподілу?

Якщо є кілька можливих наближень, я шукаю найосновніше.

Ви можете наблизити його до багатоваріантного нормального розподілу так само, як біноміальний розподіл наближений одновимірним нормальним розподілом. Перевірте елементи теорії розподілу та сторінки багаторозмірного розподілу 15-16-17.

Нехай - вектор ваших ймовірностей. Тоді середній вектор багатоваріантного нормального розподілу дорівнює . Коваріаційна матриця - симетрична матриця . Діагональні елементи - це фактично дисперсія ; тобто , . елементом у i-му рядку та j-му стовпці є , де не дорівнює .п р = ( п р 1 , п р 2 , . . . , П р до ) до × до Й я п р я ( 1 - р я ) я = 1 , 2 ... , k Cov ( X i , X $P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$ i $\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

Щільність, дана у цій відповіді, є виродженою, і тому я використовував наступне для обчислення щільності, яка є результатом нормального наближення:

Існує теорема, яка говорить про випадкову змінну , для -вимірного вектора з і , що;$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$$m$$p$$\sum_i p_i = 1$$\sum_i X_i = n$

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

для великих , заданих;$n$

• вектор з ;$u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• випадкові величини для , і;$Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• ортогональна матриця з кінцевим стовпцем .$Q$$u$

Тобто, з деякою перестановкою, ми можемо розробити мірне багатовимірне нормальний розподіл для перших компонент (які є тільки цікавими компонентами , оскільки є сумою інших).$m-1$$m-1$$X$$X_m$

Придатне значення матриці - з - тобто певна трансформація домогосподарства.$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

Якщо ми обмежуємо з лівого боку на перших рядків, і обмежити його перших рядків і стовпців (позначимо ці і відповідно) , потім:$m-1$$Q$$m-1$$m-1$х$\hat{X}$Q$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

для великих , де;$n$

• $\hat{u}$ м-1U позначає перші доданки ;$m-1$$u$
• середнє значення - , і;$\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• матриця коваріації з .$n \Sigma = n A A^T$ = Diag ( U ) Q$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

Права частина цього остаточного рівняння - це невироджена щільність, яка використовується для обчислення.

Як і очікувалося, коли ви все підключаєте, ви отримуєте таку матрицю коваріації:

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

для , що є саме ковариационной матрицею в оригінальному відповіді обмежується його перших рядка і стовпців.$i,j = 1, \ldots, m-1$m - 1 m - 1$m-1$$m-1$

Цей запис у блозі був моєю відправною точкою.