Уніфікований PDF різниці двох оборотів

Чи можливо, щоб PDF різницю двох iid rv виглядав як прямокутник (замість, скажімо, трикутника, який ми отримуємо, якщо rv взяті з рівномірного розподілу).

тобто чи можливо для PDF f jk (для двох iid rv, взятих з деякого розподілу) f (x) = 0,5 для всіх -1 <x <1?

Існує ніяких обмежень на розподіл, з якого беремо j та k, за винятком того, що min дорівнює -1, а max 1.

Після деяких експериментів я думаю, що це може бути неможливим.

random-variable pdf iid

— Натан
джерело

Різниця двох рівномірних розподілів - це трикутний розподіл, тому якщо ви запитаєте, чи можна отримати рівномірність різниці однорідних уніформ, то відповідь - ні.

— Тім

Тут же запитують Q: math.stackexchange.com/questions/2048939/… поки що без відповідей!

— kjetil b halvorsen

Дійсно, важко уникнути реалізацій поза коли і і мають масу ймовірностей, близьку до цих кінцевих точок.

[- 1, 1]

$[-1,1]$

j

$j$

k

$k$

— Крістоф Ганк

Це неможливо. На мій спогад, це (у дещо іншій формі) вже відповіло десь на місці. Я побачу, чи зможу його знайти

— Glen_b -Встановіть Моніку

@Glen_b Ви можете згадати stats.stackexchange.com/questions/125360/… . Однак це не зовсім дублікат, оскільки різниця змінних iid, хоча виражається як сума може включати суму змінних з невідповідними розподілами. Я вірю, що тривіальна модифікація мого рішення дозволить вирішити цю різницю; Рішення Silverfish виглядає так, що воно застосовується безпосередньо майже без модифікацій, але спочатку потрібно видалити багато сторонніх матеріалів, щоб побачити це.

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

— whuber

Відповіді:

Теорема: Не існує розподілу для якого коли . $\text{Dist}$ $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ $A, B \sim \text{IID Dist}$

Доведення: Розглянемо дві випадкові величини із загальною характеристичною функцією . Позначимо їх різницю через . Характерна функція різниці: $A, B \sim \text{IID Dist}$ $\varphi$ $D=A-B$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

(Четвертий рядок цього твору випливає з того, що характерною функцією є ерміціанка .) Тепер, беручи надає форму , яка: $D \sim \text{U}(-1,1)$ $\varphi_D$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

де остання є (ненормалізованою) функцією sinc . Отже, щоб відповідати вимогам до , нам потрібна характерна функція з нормою квадрата, заданою: $\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

Ліва частина цього рівняння є нормою квадрата і тому є негативною, тоді як права частина - це функція, яка в різних місцях є негативною. Отже, рішення цього рівняння не існує, і тому немає характерної функції, яка б відповідала вимогам розподілу. (Хат-підказка Фабіану для вказівки на це у спорідненому питанні щодо математики.SE .) Отже, розподілу з вимогами теореми немає. $\blacksquare$

— Бен - Відновлення Моніки
джерело

Це питання інженера-електрика щодо цього питання, з точки зору, який більше підходить для dsp.SE, а не для статистики.SE, але не важливо.

Припустимо, що і - неперервні випадкові величини зі спільним pdf . Тоді, якщо позначає , маємо, що Нерівність Коші-Шварца говорить нам, що має максимум при . Насправді, оскільки насправді функція "автокореляції" розглядається як "сигнал", вона повинна мати унікальний максимум при і тому не може бути рівномірно розподілений, як бажано. Як варіант, якщо $X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$ насправді були рівномірною щільністю (пам'ятайте, що це також функція автокореляції), тоді "спектральна щільність потужності" (розглядається як сигнал) була б функцією sinc, і, таким чином, не була негативною функцією, оскільки всі спектральні щільності потужності повинні бути . Ерго, припущення, що - рівномірна щільність, призводить до суперечності, і тому припущення повинно бути помилковим.

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

Твердження, що , очевидно, недійсне, коли загальний розподіл та містить атоми, оскільки в такому випадку розподіл також буде містити атоми. Я підозрюю, що обмеження на те, що і мають pdf, може бути знято, і чисто загальнотеоретичний доказ побудований для загального випадку, коли і не обов'язково користуються файлом pdf (але їхня різниця є). $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Діліп Сарват
джерело

Частина цього мені не здається правильною. Характеристична функція розподіл є функція, так ясно , що вид перетворення Фур'є є допустимим. Мені здається, ваша логіка веде до надмірного доказування - це, здається, доводить не тільки те, що не може бути рівномірним, але і рівномірний розподіл взагалі не може існувати. Я неправильно зрозумів?

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$

sinc

$\text{sinc}$

Z

$Z$

— Бен - Відновити Моніку

Чи існує характерна функція , це не проблема; вона існує. Pdf від - це функція автокореляції . Що ж, спектральна щільність потужності будь-якої функції автокореляції повинна бути негативною функцією. Отже, припущення, що призводить до спектральної щільності потужності, яка є функцією sinc (яка приймає як позитивні, так і негативні значення). Оскільки це не є дійсною спектральною щільністю потужності (пам’ятайте, що є функцією автокореляції), припущення, що має бути помилковим.

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$

Z

$Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

— Діліп Сарват