Чому власні та svd декомпозиції матриці коваріації на основі розріджених даних дають різні результати?

Я намагаюся розкласти коваріаційну матрицю, засновану на наборі даних з обмеженою / гаптованою формою. Я зауважую, що сума лямбда (пояснена дисперсія), розрахована з svd, посилюється все більш неохайними даними. Без прогалин, svdі eigenотримуйте однакові результати.

Здається, це не відбувається при eigenрозкладанні. Я схилявся до використання, svdоскільки значення лямбда завжди позитивні, але ця тенденція викликає занепокоєння. Чи є якась корекція, яку потрібно застосувати, чи svdвзагалі слід уникати такої проблеми.

###Make complete and gappy data set
set.seed(1)
x <- 1:100
y <- 1:100
grd <- expand.grid(x=x, y=y)

#complete data
z <- matrix(runif(dim(grd)[1]), length(x), length(y))
image(x,y,z, col=rainbow(100))

#gappy data
zg <- replace(z, sample(seq(z), length(z)*0.5), NaN)
image(x,y,zg, col=rainbow(100))


###Covariance matrix decomposition
#complete data
C <- cov(z, use="pair")
E <- eigen(C)
S <- svd(C)

sum(E$values)
sum(S$d)
sum(diag(C))


#gappy data (50%)
Cg <- cov(zg, use="pair")
Eg <- eigen(Cg)
Sg <- svd(Cg)

sum(Eg$values)
sum(Sg$d)
sum(diag(Cg))



###Illustration of amplification of Lambda
set.seed(1)
frac <- seq(0,0.5,0.1)
E.lambda <- list()
S.lambda <- list()
for(i in seq(frac)){
    zi <- z
    NA.pos <- sample(seq(z), length(z)*frac[i])
    if(length(NA.pos) > 0){
        zi <- replace(z, NA.pos, NaN)
    }
    Ci <- cov(zi, use="pair")
    E.lambda[[i]] <- eigen(Ci)$values
	S.lambda[[i]] <- svd(Ci)$d
}


x11(width=10, height=5)
par(mfcol=c(1,2))
YLIM <- range(c(sapply(E.lambda, range), sapply(S.lambda, range)))

#eigen
for(i in seq(E.lambda)){
    if(i == 1) plot(E.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Eigen Decomposition")
    lines(E.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

    #svd
for(i in seq(S.lambda)){
    if(i == 1) plot(S.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Singular Value Decomposition")
    lines(S.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

Вам потрібно зробити суму абсолютного значення власних значень, тобто суму (abs (Eg $ значень)) і порівняти її з сумою сингулярних значень. Вони були б рівні.

$-1$

Доказ зворотності цієї прекрасної теореми з'явився в "Алгебри гіперболоїдів революції" Хав'єра Ф. Кабрера, "Лінійна алгебра та її додатки" в Принстонському університеті (зараз в Ратгерсі).

Інший спосіб пояснити це тим, що sqrt (eigen (t (Cg)% *% Cg)) дорівнюють сингулярним значенням Cg. Але коли власні значення негативні, дані повинні бути представлені у гермітичній формі із врахованою складною площиною, яка є пропущеною в первинному формулюванні, тобто даними, утвореними симетричним квадратним коренем матриці з негативним власним Значення мали б складні записи.