Знаходження граничної щільності

Як випливає з назви, я шукаю граничні щільності

Поки що я виявив, що є . Я зрозумів, що через перетворення в полярні координати та інтеграцію над , тому я застряг на частині граничної щільності. Я знаю, що , але я не впевнений, як це вирішити, не отримавши великого безладного інтеграла, і я знаю, що відповідь не є ' т повинен бути великим безладним інтегралом. Чи можна замість цього знайти , а потім взяти щоб знайти$c$$\frac{3}{2 \pi}$$f(x,y)$$drd\theta$$f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$$F(x,y)$$\frac{dF}{dx}$$f_x(x)$? Це здається інтуїтивно зрозумілим способом зробити це, але я не можу знайти щось у своєму підручнику, в якому зазначено ці відносини, тому я не хотів робити неправильні припущення.

Тут допомагає геометрія. Графік$f$являє собою сферичний купол одиничного радіуса. (З цього випливає, що його обсяг наполовину менший від одиничної сфери,$(4 \pi /3)/2$, звідки $c=3/(2 \pi)$.) Граничні щільності задаються областями вертикальних перерізів через цю сферу. Очевидно, що кожен поперечний переріз є півколом: для отримання граничної щільності знайдіть його радіус як функцію решти змінної та використовуйте формулу для площі кола. Нормалізуючи отриману уніваріантну функцію, щоб мати одиницю площі, перетворює її на щільність.