Яке розподіл закругленого середнього середніх випадкових величин Пуассона?

Якщо у мене є випадкові величини , які Пуассон розподілено з параметрами , який розподіл (тобто цілий поверх середнього)?$X_1,X_2,\ldots,X_n$$\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n$$Y=\left\lfloor\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right\rfloor$

Сума Пуассона - це також Пуассон, але я недостатньо впевнений у статистиці, щоб визначити, чи це те саме для вищезазначеного випадку.

Узагальнення питання задає розподіл $Y = \lfloor X/m \rfloor$ коли розподіл $X$ відомий і підтримується на натуральних числах. (У запитанні $X$ має пуассонівський розподіл параметра $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$ і $m=n$ .)

Розподіл $Y$ легко визначається розподілом $mY$ , ймовірність якого виробляє функція (PGF) може бути визначена в термінах PGF з $X$ . Ось контур виведення.

---

Запишіть для pgf з , де (за визначенням) . будується з таким чином , що його PGF, , єX p n = Pr ( X = n ) m Y X $p(x) = p_0 + p_1 x + \cdots + p_n x^n + \cdots$$X$$p_n = \Pr(X=n)$$mY$$X$$q$

$$\eqalign{q(x) &=& \left(p_0 + p_1 + \cdots + p_{m-1}\right) + \left(p_m + p_{m+1} + \cdots + p_{2m-1}\right)x^m + \cdots + \\&&\left(p_{nm} + p_{nm+1} + \cdots + p_{(n+1)m-1}\right)x^{nm} + \cdots.}$$

Тому що це сходиться абсолютно за , ми можемо переставити терміни на суму частин форми$|x| \le 1$

$$D_{m,t}p(x) = p_t + p_{t+m}x^m + \cdots + p_{t + nm}x^{nm} + \cdots$$

для . У статечної ряд функції складаються з будь-якого термін серії , починаючи з : це іноді називають проріджування з . Пошуки Google в даний час не виявляють багато корисної інформації щодо децимації, тому для повноти ось виведення формули.x t D m , t p m th p t th$t=0, 1, \ldots, m-1$$x^t D_{m,t}p$$m^\text{th}$$p$$t^\text{th}$$p$

Нехай - будь-який примітивний корінь єдності; наприклад, візьміть . Тоді з і випливає, щоm th ω = exp ( 2 i π / m ) ω m = 1 ∑ m - 1 j = 0 ω j = $\omega$$m^\text{th}$$\omega = \exp(2 i \pi / m)$$\omega^m=1$$\sum_{j=0}^{m-1}\omega^j = 0$

$$x^t D_{m,t}p(x) = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(x/\omega^j).$$

Щоб побачити це, зауважте, що оператор лінійний, тому достатньо перевірити формулу на основі . Застосування правої частини до дає { 1 , x , x 2 , … , x n , … } x $x^t D_{m,t}$$\{1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots \}$$x^n$

$$x^t D_{m,t}[x^n] = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} x^n \omega^{-nj}= \frac{x^n}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{(t-n) j.}$$

Коли і відрізняються кратним , кожен доданок у сумі дорівнює і отримуємо . В іншому випадку умови переходять через повноваження і ці суми до нуля. Звідси цей оператор зберігає всі сили конгруентних до модуля і вбиває всі інші: це саме бажана проекція.n m 1 x n ω t - n x t $t$$n$$m$$1$$x^n$$\omega^{t-n}$$x$$t$$m$

Формула легко випливає, змінюючи порядок підсумовування та визнаючи одну із сум геометричною, записуючи її в закритому вигляді:$q$

$$\eqalign{ q(x) &= \sum_{t=0}^{m-1} (D_{m,t}[p])(x) \\ &= \sum_{t=0}^{m-1} x^{-t} \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(\omega^{-j}x ) \\ &= \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} p(\omega^{-j}x) \sum_{t=0}^{m-1} \left(\omega^j/x\right)^t \\ &= \frac{x(1-x^{-m})}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \frac{p(\omega^{-j}x)}{x-\omega^j}. }$$

Наприклад, pgf розподілу Пуассона параметра є . З , і pgf будеp ( x ) = exp ( λ ( x - 1 ) ) m = 2 ω = - 1 2 $\lambda$$p(x) = \exp(\lambda(x-1))$$m=2$$\omega=-1$$2Y$

$$\eqalign{ q(x) &= \frac{x(1-x^{-2})}{2} \sum_{j=0}^{2-1} \frac{p((-1)^{-j}x)}{x-(-1)^j} \\ &= \frac{x-1/x}{2} \left(\frac{\exp(\lambda(x-1))}{x-1} + \frac{\exp(\lambda(-x-1))}{x+1}\right) \\ &= \exp(-\lambda) \left(\frac{\sinh (\lambda x)}{x}+\cosh (\lambda x)\right). }$$

Одним із застосувань такого підходу є обчислення моментів та . Значення похідної pgf, оцінене на є факторіальним моментом . момент є лінійною комбінацією перших факторних моментів. Використовуючи ці спостереження, ми знаходимо, наприклад, що для Пуассона, розподіленого , його середнє значення (що є першим факторіальним моментом) дорівнює , середнє значення дорівнює , а середнє значення дорівнюєm Y k th x = 1 k th k th k X λ 2 ⌊ ( X / 2 ) ⌋ λ - $X$$mY$$k^\text{th}$$x=1$$k^\text{th}$$k^\text{th}$$k$$X$$\lambda$$2\lfloor(X/2)\rfloor$3⌊(X/3)⌋λ-1+e-3λ/2(sin ( $\lambda- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2\lambda}$$3\lfloor(X/3)\rfloor$$\lambda -1+e^{-3 \lambda /2} \left(\frac{\sin \left(\frac{\sqrt{3} \lambda }{2}\right)}{\sqrt{3}}+\cos \left(\frac{\sqrt{3} \lambda}{2}\right)\right)$ :

Засоби для показані синім, червоним та жовтим кольорами відповідно як функції : асимптотично, середнє падіння на порівняно з вихідним середнім значенням Пуассона.$m=1,2,3$$\lambda$$(m-1)/2$

Подібні формули для дисперсій можна отримати. (Вони стають безладними, коли зростає і так опускається. Одне, що вони остаточно встановлять, це те, що коли жоден кратний є Пуассоном: він не має характерної рівності середнього та дисперсії) Ось сюжет дисперсій як функція для :$m$$m \gt 1$$Y$$\lambda$$m=1,2,3$

Цікаво, що для більших значень дисперсії збільшуються . Інтуїтивно це пов'язано з двома конкуруючими явищами: функція підлоги ефективно поєднує групи значень, які спочатку були виразними; це повинно призвести до зменшення дисперсії . У той же час, як ми бачили, кошти теж змінюються (адже кожен контейнер представлений найменшим значенням); це повинно викликати доданий термін, рівний квадрату різниці засобів. Збільшення дисперсії для великих стає більшим при більших значеннях .$\lambda$$\lambda$$m$

Поведінка дисперсії з напрочуд складна. Закінчимо швидке моделювання (в ), що показує, що він може зробити. показують різницю між дисперсією та дисперсією для Пуассона, розподіленого з різними значеннями варіюються від до . У всіх випадках сюжети, схоже, досягли своїх асимптотичних значень праворуч.$mY$$m$R$m\lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda$$1$$5000$

set.seed(17)
par(mfrow=c(3,4))
temp <- sapply(c(1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000), function(lambda) {
  x <- rpois(20000, lambda)
  v <- sapply(1:floor(lambda + 4*sqrt(lambda)), 
              function(m) var(floor(x/m)*m) - var(x))
  plot(v, type="l", xlab="", ylab="Increased variance", 
       main=toString(lambda), cex.main=.85, col="Blue", lwd=2)
})

Як каже Майкл Черник, якщо окремі випадкові величини незалежні, то сума - Пуассон з параметром (середнім і дисперсією) який можна назвати .$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$$\lambda$

Ділення на зменшує середнє значення на та дисперсію тому дисперсія буде меншою, ніж еквівалентний розподіл Пуассона. Як каже Майкл, не всі значення будуть цілими числами.λ / n λ / n $n$$\lambda / n$$\lambda / n^2$

Використання функції підлоги трохи зменшує середнє значення, приблизно на , і впливає на дисперсію теж трохи, хоч і складніше. Хоча у вас є цілі значення, дисперсія все одно буде значно меншою від середньої, і тому у вас буде вузьке розподіл, ніж Пуассон.$\frac12 -\frac{1}{2n}$

$n$ $\sum_i X_i$$X_i$$\lambda_i$$\lambda = \sum_i \lambda_i$

$$P\left\{ \sum_{i=1}^n X_i= k\right\} = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}, ~~ k = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\hat{Y} = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$$k/n$$\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}$$\hat{Y}$$Y = \lfloor \hat{Y} \rfloor$$m$ $$P\{Y = m\} = P\left\{\left\lfloor \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right\rfloor = m\right\} = \exp(-\lambda)\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda^{mn+i}}{(mn+i)!}, ~~ m = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\lambda$$n$

Y не буде Пуассоном. Зауважимо, що випадкові величини Пуассона приймають цілісні значення, що не мають негативного значення. Після поділу на константу ви створюєте випадкову змінну, яка може мати не цілі значення. Він все одно матиме форму Пуассона. Просто дискретні ймовірності можуть виникати в не цілих точках.