У чому полягає інтуїція, що стоїть за відмінностями другого порядку?

Іноді може бути необхідним різнити часовий серій, щоб зробити його нерухомим. Однак я не розумію, як диференціювання другого порядку може допомогти зробити його нерухомим, коли розмежування першого порядку недостатньо.

Чи можете ви дати зрозуміле пояснення для розмежування другого порядку та випадків, коли це потрібно?

Диференціювання другого порядку - це дискретна аналогія другого похідного. Для дискретного часового ряду різниця другого порядку представляє кривизну рядів у заданий момент часу. Якщо різниця другого порядку позитивна, то часовий ряд згортається вгору, а якщо він від'ємний, то часовий ряд згортається вниз на той час.

Різниця другого порядку дискретного часового ряду на час :$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Це позитивно, якщо і негативно, якщо (і нуль, якщо ). Якщо в цей час в серії спостерігається більша зміна вгору (менше вниз), ніж у попередній час, спостерігається позитивна кривизна, і якщо в цей час зміни в серії (більше вниз), ніж в попередній час, спостерігається негативна кривизна.$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

Дві думки:

Рекурсія . Що ви маєте після різниці першого замовлення? Ще один часовий ряд, який за правильних умов ближче до стаціонарних. Якщо він недостатньо близький, тепер у вас є часовий ряд, який не є нерухомим, і ви хочете перенести його ближче до стаціонарного, тому ви приймаєте різницю першого порядку. (Що трапляється в різниці другого порядку від початкового часового ряду.) Якщо розрізнений часовий ряд недостатньо близький до нерухомого, ви ... [повторити] ...

Похідні фінансові інструменти . Уявіть, що ви записуєте GPS-розташування свого автомобіля кожні 10 хвилин. Якби я міг взяти GPS-точки з будь-яких двох днів і показати їх тобі, і ти не міг зрозуміти, який це день може бути - можливо, я б навіть не міг реально сказати один день від іншого - ваші дані про місцезнаходження стаціонарний.

Але скажіть, що ви їхали в інше сусіднє місто щодня протягом двох тижнів? Ви легко зможете сказати різницю між днями - можливо, навіть точно знаєте, в який день я вам показував. Не стаціонарно.

Можливо, якщо ви замість цього зафіксували відстань від дому кожні 10 хвилин, це зробить ваші дані більш нерухомими. Відстань не включає напрямок, тож, можливо, тепер ваші дані за ці два тижні виглядали б майже однаково? (Наприклад, середнє місцеположення).

Скажіть, замість цього, ви вирішили їхати з Нью-Йорка прямо до Лос-Анджелеса. Трик на відстань не спрацював би, оскільки ваша відстань дала б вам досить чітке розмежування днів.

Але ви можете замість цього записувати свою швидкість кожні 10 хвилин. Керуючи крос-кантрі по міждержавній системі, ви дні, як правило, виглядаєте набагато схожими, швидкими. Тобто, ваша швидкість була б нерухомою.

Скажімо, місце в момент часу 0 дорівнює , а через 10 та 20 хвилин - та відповідно. Пройдена відстань у кожному 10-хвилинному інтервалі була б і , яка при поділі на часовий інтервал дає швидкість (ті ж одиниці, що і швидкість, але з напрямком). Другий диференціал, - це прискорення. Якщо швидкість нерухома, а автомобіль постійно рухається, відмінності в розташуванні також будуть нерухомими.$L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$