Нормальний розподіл

Є проблема зі статистикою, я, на жаль, не маю уявлення з чого почати (я навчаюсь самостійно, тому нікого не можу запитати, якщо я чогось не розумію.

Питання в тому

$X,Y$ iid $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

Оскільки ви маєте справу з нормальними даними IID, варто трохи узагальнити свою проблему, щоб подивитися на випадок, який у вас є $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ і ти хочеш $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$. (Ваше запитання відповідає випадку, коли$n=2$.) Як зазначають інші користувачі, сума квадратів IID нормальних випадкових величин - це масштабована не центральна випадкова величина чи-квадрата , і тому дисперсію інтересу можна отримати із знань цього розподілу. Однак також можна отримати необхідну дисперсію, використовуючи звичайні правила моменту, поєднані з знаннями моментів нормального розподілу . Я покажу вам, як це зробити нижче, по кроках.

Знаходження дисперсії за допомогою моментів нормального розподілу: Оскільки значення$X_1, ..., X_n$ є IID (і приймають $X$ щоб бути загальним значенням цього розподілу) у вас є:

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ де ми позначаємо сирі моменти як $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$. Ці сирі моменти можна записати в центральних моментах$\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ і середня $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$використовуючи стандартні формули перетворення , і тоді ми можемо шукати центральні моменти нормального розподілу та замінювати їх.

Використовуючи формули моменту перетворення, ви повинні отримати:

$$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Для розподілу $X \sim \text{N}(a,b^2)$ ми маємо на увазі $\mu_1' = a$ центральні моменти вищого порядку $\mu_2 = b^2$, $\mu_3 = 0$ і $\mu_4 = 3 b^4$. Це дає нам сирі моменти: $$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Тепер спробуйте їх замінити в початковий вираз, щоб знайти відмінність, що цікавить.

Підстановка назад у перший вираз дає:

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Для особливого випадку, де $n=2$ ти маєш $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$. Можна показати, що цей результат відповідає рішенню, яке ви отримаєте, якби застосували альтернативний метод отримання результату від масштабованого не центрального розподілу chi-квадрата.

Альтернативна робота, заснована на використанні нецентрального розподілу chi-квадрата: з$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$ ми маємо:

$$\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$$ Використовуючи відому дисперсію цього розподілу, ми маємо: $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Цей результат збігається з результатом вище.

Якщо $X$ і $Y$ є $\text{N} (a, b^2)$ незалежні випадкові величини $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ є $\chi ^2(2)$ випадкова величина.

Думаєте, ви можете взяти його звідти?

Відповідь полягає в нецентральному розподілі Chi-квадрата .

Наприклад, якщо b = 1, відповідь на ваше запитання: $2(k + 2(a^2))$, де $k=2$ - кількість компонентів ($X$ і $Y$).