Який розподіл використовувати для моделювання часу до прибуття поїзда?

16

Я намагаюся моделювати деякі дані про час прибуття поїзда. Я хотів би використовувати розподіл, який фіксує "чим довше я чекаю, тим більше шансів, що поїзд з'явиться" . Здається, такий розподіл повинен виглядати як CDF, так що P (показ поїзда | чекав 60 хвилин) близький до 1. Який розподіл доцільно використовувати тут?

distributions modeling

— foobar
джерело

10

Якщо ви зачекаєте 25 годин, а поїзду не було, я підозрюю, що шанс потягу повернутися в наступну хвилину може бути близьким до

оскільки цілком можливо, що лінія була закрита тимчасово або постійно

0

$0$

— Генрі

@ Генрі, це повністю залежить від вашої віри в попередні ймовірності. Наприклад, найменш використовуваний залізничний вокзал у Британії, theguardian.com/uk-news/2016/dec/09/… , має прогалини в'їздів протягом більш ніж одного дня (по неділях немає служби).

— Секст Емпірік

@MartijnWeterings - можливо завдяки журналістам, Shippea Hill побачив на 1200% збільшення використання і навіть не зробив найнижчих 10 в наступному році , деякі з яких, наприклад, аеропорт Тіссайд, мають один поїзд на тиждень в одному напрямку

— Генрі

17

Множення двох ймовірностей

Імовірність першого приходу за час між $t$ і $t+dt$ (час очікування) дорівнює множенню

ймовірність прибуття між $t$ і $t+dt$ (що може бути пов'язано зі швидкістю прибуття $s(t)$ в момент $t$ )
і ймовірність відсутності прибуття до часу $t$ (інакше це було б не першим).

Останній термін пов'язаний з:

P (n = 0, t + d t) = (1 - s (t) d t) P (n = 0, t)

$P(n=0,t+dt) = (1-s(t)dt) P(n=0,t)$

або

\frac{\partial P (n = 0, t)}{\partial t} = - s (t) P (n = 0, t)

$\frac{\partial P(n=0,t)}{\partial t} = -s(t) P(n=0,t)$

надання:

P (n = 0, t) = e^{\int_{0}^{t} - s (t) d t}

$P(n=0,t) = e^{\int_0^t-s(t) dt}$

а розподіл ймовірності на час очікування становить:

f (t) = s (t) e^{\int_{0}^{t} - s (t) d t}

$f(t) = s(t)e^{\int_0^t-s(t) dt}$

Виведення кумулятивного розподілу.

$t$

P (n < 1 | t) = F (n = 0; t)

$P(n<1|t) = F(n=0;t)$

$t$ $t+dt$

f_{arrival time} (t) = - \frac{d}{d t} F (n = 0 | t)

$f_{\text{arrival time}}(t) = - \frac{d}{d t} F(n=0 \vert t)$

Такий підхід / метод, наприклад, корисний для отримання розподілу гами як часу очікування n-го приходу в процесі Пуассона. (час очікування пуассона-процес-слідування-гамма-розподіл )

Два приклади

Ви можете пов’язати це з парадоксом очікування ( поясніть, будь ласка, парадокс очікування ).

$s(t) = \lambda$
$f (t) = λ e^{- λ t}$ $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$
$T$ $t$ $s(t) = 1/(T-t)$
$f (t) = \frac{e^{\int_{0}^{t} - \frac{1}{T - t} d t}}{T - t} = \frac{1}{T}$ $f(t)= \frac{e^{\int_0^t -\frac{1}{T-t} dt}}{T-t} = \frac{1}{T}$ which makes sense since every time between $0$ and $T$ should have equal probability to be the first arrival.

So it is this second case, with "then the probability of an arrival, when a person has already been waiting for some time is increasing", that relates to your question.

It might need some adjustments depending on your situation. With more information the probability $s(t) dt$ for a train to arrive at a certain moment might be a more complex function.

Written by StackExchangeStrike

— Sextus Empiricus
джерело

7

The classical distribution to model waiting times is the exponential distribution.

The exponential distribution occurs naturally when describing the lengths of the inter-arrival times in a homogeneous Poisson process.

— Stephan Kolassa
джерело

2

Yes, but I daresay a Poisson process is not a good model for a train network.

— leftaroundabout