Яка ймовірність того, що задано ?

Припустимо, $X$ і $Y$ є двовимірними нормальними із середнім $\mu=(\mu_1,\mu_2)$ та коваріацією $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$ . Яка ймовірність $\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$ ?

probability normal-distribution conditional-probability

— мікрофон
джерело

@whuber вірно дякую, видалив мої думки, оскільки вони тут нічого не додають.

— AdamO

\frac{P r (m < Y | X = m)}{P r (m < Y | X = m) + P r (m < X | Y = m)}

$\frac{Pr(m<Y|X=m)}{Pr(m<Y|X=m)+Pr(m<X|Y=m)}$

— Емпірік Секст

корисне посилання stats.stackexchange.com/questions/30588/… Це питання самостійного вивчення?

— Секст Емпірік

Ви повинні поділитися своїми думками щодо проблеми, незалежно від того, що це виглядає як питання самостійного вивчення.

— StubbornAtom

Відповіді:

Використовуючи трохи більш явне позначення , де - дійсне число, а не випадкова величина. Множина, на якій - шлях у формі L з двома напіввідкритими відрізками: один йде прямо вгору від точки а інший йде прямо вправо від цієї ж точки. Зрозуміло, що на вертикальній ніжці і на горизонтальній ніжці . $P(X<Y|\min(X, Y)=m)$ $m$ $\min(X,Y) = m$ $(m,m)$ $x<y$ $x>y$

Враховуючи цю геометричну інтуїцію, легко переписати задачу в еквівалентній формі, де в чисельнику є лише вертикальна ніжка, де а в знаменнику - сума двох ніжок. $x<y$

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

Тому тепер нам потрібно обчислити два вирази форми . Такі умовні ймовірності двовимірного нормального розподілу завжди мають нормальний розподіл з параметрами: $P(m<X|Y=m)$ $\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

Зауважимо, що в початковому визначенні проблеми посилається на елементи матриці коваріації, що суперечить більш поширеній конвенції про використання для стандартного відхилення. Нижче нам буде зручніше використовувати для дисперсії та для стандартного відхилення умовного розподілу ймовірностей. $\sigma_{ij}$ $\sigma$ $s^2$ $s$

Знаючи ці два параметри, ми можемо обчислити ймовірність, ніж з функції кумулятивного розподілу. $m<X$

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

mutatis mutandis , маємо аналогічний вираз для . Дозволяє $P(Y>m|X=m)$

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

Тоді ми можемо скласти повне рішення компактно з точки зору цих двох балів: $z$

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

На основі моделювання коду, наданого автором запитання, ми можемо порівняти цей теоретичний результат з імітованими результатами:

— olooney
джерело

У (3) я думаю, що ліва сторона повинна мати квадрат, тому що це умовна дисперсія, тоді як стандартне відхилення використовується пізніше.

— Ів

Ви абсолютно праві @Yves, і я вважаю, що мої останні зміни виправили цю проблему. Дякую.

— olooney

@olooney, дякую за цю відповідь. Я можу стежити за виведенням, і це здається правильним. Однак я спробував перевірити (1) і (7) в симуляції, і результати були зовсім іншими. Ви можете побачити мій код R тут gist.github.com/mikeguggis/d041df05565f63f8be2c6c51f5cf8961

— Майк

@mike, я думаю, у мене була помилка знаку. Виконавши це, теоретичний результат, схоже, узгоджується з результатами моделювання. gist.github.com/olooney/e88a66d2d2fa7f2f0cd0d0dd6b708739

— olooney

@olooney, хороший улов. Я досі не можу зрозуміти, чому дві оцінки на основі моделювання не збігаються (рядки 30-32 у моєму коді).

— Майк

Питання можна переписати за допомогою модифікованої версії теореми Байєса (і зловживання поняттям для ) $Pr$

\begin{aligned} P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) & = \frac{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y)}{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y) + P r (m i n (X, Y) = m | X \geq Y) P r (X \geq Y)} \\ = \frac{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m)}{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) + P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m)} . \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$

Визначте як двовимірний PDF-файл та , і . Тоді $f_{X,Y}$ $X$ $Y$ $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$ $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$

\begin{aligned} P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X = m, Y > m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (m, t) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$

\begin{aligned} P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X \geq m, Y = m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (t, m) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$

Використовуючи нормальність та визначення умовної ймовірності, інтеграли можна переписати як

f_{X, Y} (m, t) = f_{Y | X} (t) f_{X} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{Y | X}}} ϕ (\frac{t - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})

$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$

f_{X, Y} (t, m) = f_{X | Y} (t) f_{Y} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{X | Y}}} ϕ (\frac{t - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}}) .

$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$

Де

μ_{X | Y} = μ_{1} + \frac{σ_{12}}{σ_{22}} (m - μ_{2}),

$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$

μ_{Y | X} = μ_{2} + \frac{σ_{12}}{σ_{11}} (m - μ_{1}),

$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$

σ_{X | Y} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{11}

$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$

σ_{Y | X} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{22} .

$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$

Таким чином

P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) = \frac{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})}{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}}) + (1 - Φ (\frac{m - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}})} .

$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$

Ця фінальна форма дуже схожа на результат, який @olooney досяг. Різниця полягає в тому, що його ймовірності не зважуються за нормальною щільністю.

Сценарій R для числової перевірки можна знайти тут

— мікрофон
джерело