Чи переходить нормальний розподіл до рівномірного розподілу, коли стандартне відхилення зростає до нескінченності?

Чи збігається нормальний розподіл до певного розподілу, якщо стандартне відхилення зростає без меж? мені здається, що pdf починає виглядати як рівномірний розподіл з межами, заданими . Це правда?$[-2 \sigma, 2 \sigma]$

Інші відповіді, які вже є тут, роблять чудову роботу, щоб пояснити, чому гаусові РВ не сходяться ні до чого, оскільки дисперсія збільшується без обмежень, але я хочу зазначити, здавалося б, рівномірну властивість, яку задовольняє така колекція гауссів , на яку я думаю, що достатньо, щоб хтось здогадався, що вони стають рівномірними, але це виявляється недостатньо сильним, щоб зробити висновок про це. $\newcommand{\len}{\text{len}}$

Розглянемо сукупність випадкових змінних $\{X_1,X_2,\dots\}$ де $X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$ . Нехай $A = [a_1,a_2]$ є фіксованим інтервалом кінцевої довжини, а для деяких $c \in \mathbb R$ визначте $B = A +c$ , тобто $B$ є $A$ але просто зміщений на $c$ . Для інтервалу $I = [i_1,i_2]$ визначте $\len (I) = i_2-i_1$ довжиною $I$ , і зауважте, що $\len(A) = \len(B)$ .

Зараз я доведу такий результат:

Результат : $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$ як $n \to \infty$ .

Я називаю це рівномірним, оскільки воно говорить про те, що розподіл все частіше має два фіксованих інтервали однакової довжини, що мають однакову ймовірність, незалежно від того, наскільки вони далекі. Це, безумовно, дуже однакова особливість, але, як ми побачимо, це нічого не говорить про фактичний розподіл що у єдиний.$X_n$$X_n$

Пф: зауважимо, що де так що Я можу використовувати (дуже грубо), що щоб отримати $X_n = n X_1$$X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$

$$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$$ $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$$ $e^{-x^2/2} \leq 1$ $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$$ $$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

Я можу зробити те ж саме для щоб отримати $B$

$$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

Збираючи їх у мене, я як (тут я використовую нерівність трикутника).

$$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$$ $n\to\infty$

$\square$

Чим це відрізняється від сходяться на рівномірному розподілі? Я щойно довів, що ймовірності, надані будь-яким двом фіксованим інтервалам однакової кінцевої довжини, наближаються і наближаються, і інтуїтивно це має сенс, оскільки щільність «розрівнюється» з точки зору і$X_n$$A$$B$

Але для того, щоб сходився на рівномірному розподілі, мені потрібно щоб рухатися до пропорції для будь-якого інтервалу , і це зовсім інша річ, оскільки це має стосуватися будь-якого , а не лише одного, зафіксованого заздалегідь (а як уже згадувалося в іншому місці, це також неможливо навіть для розповсюдження з необмеженою підтримкою).$X_n$$P(X_n \in I)$$\text{len}(I)$$I$$I$

Поширена помилка ймовірності - вважати, що розподіл є рівномірним, оскільки він виглядає візуально плоским, коли всі його значення майже до нуля. Це тому, що ми схильні бачити, що і все-таки , тобто невеликий інтервал навколо в 1000 разів більше швидше за малий інтервал навколо .$f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$$f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$$x$$y$

Це точно не є рівномірним для всієї реальної лінії в ліміті, оскільки немає рівномірного розподілу на . Це також не приблизно рівномірно на .$(-\infty,\infty)$$[-2\sigma,2\sigma]$

Ви можете бачити останнє з правила 68-95-99.7, яке вам здається знайомим. Якби це було приблизно однаково на , то ймовірність перебування в і повинна бути однаковою, оскільки два інтервали однакові довжина. Але це не так: , все ж .$[-2\sigma,2\sigma]$$[0,\sigma]$$[\sigma,2\sigma]$$P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$$P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

Якщо дивитися по всій реальній лінії, ця послідовність нормальних розподілів не збігається до будь-якого розподілу ймовірностей. Існує кілька способів, як це побачити. Наприклад, cdf норми зі стандартним відхиленням є та для всіх , що не є cdf жодної випадкової величини. Насправді це зовсім не cdf.$\sigma$$F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$$\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$$x$

Причина цього неконвергенції зводиться до "масових втрат" - це межа. Обмежувальна функція нормального розподілу фактично "втратила" ймовірність (тобто вона втекла до нескінченності). Це пов'язано з концепцією жорсткості заходів , яка дає необхідні умови, щоб послідовність випадкових змінних перейшла до іншої випадкової величини.

У вашому твердженні pdf починає виглядати як рівномірний розподіл з межами, заданими$[−2σ,2σ]$ , невірно, якщо ви налаштуєте відповідно до ширшого стандартного відхилення.$\sigma$

Розглянемо цю діаграму двох нормальних густин, орієнтованих на нуль. Червона крива відповідає стандартному відхиленню а синя - стандартному відхиленню , і це дійсно так, що синя крива майже плоска на$1$$10$$[-2,2]$

але для синьої кривої з ми насправді повинні дивитись на її форму на . Зміна шкали -axis і -xx на коефіцієнти дає наступний графік, і ви отримуєте абсолютно таку ж форму для синьої щільності в цьому пізнішому сюжеті, як і червона щільність на попередній графіці $\sigma=10$$[-20,20]$$x$$y$$10$

Ваше питання принципово хибно. Стандартний нормальний розподіл масштабується таким чином , що . Отже, для деякого іншого розподілу Гаусса ( ) тоді крива між межами має таку ж форму, як і звичайне нормальне розподіл. Єдина відмінність - коефіцієнт масштабування. Отже, якщо ви змінили масштаб гаусса шляхом ділення на , тоді ви закінчите стандартне нормальне розподіл.$\sigma = 1$$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$$\sigma^*$

Тепер, якщо у вас є розподіл Гаусса ( ), то так як , область між стає більш плоскою.$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$\sigma^* \rightarrow \infty$$[-2, 2]$