Як довести, що радіальною базовою функцією є ядро?

35

Як довести, що функція радіальної основи є ядром? Наскільки я розумію, щоб довести це, ми повинні довести одне з наступного: $k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$

Для будь-якого набору векторів матриця = - це додатне напіввизначене. $x_1, x_2, ..., x_n$ $K(x_1, x_2, ..., x_n)$ $(k(x_i, x_j))_{n \times n}$
Можна подати відображення наприклад = . $\Phi$ $k(x, y)$ $\langle\Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Будь-яка допомога?

svm kernel-trick

— Лев
джерело

1

Тільки для того, щоб пов’язати це більш очевидно: карта особливостей також обговорюється в цьому питанні , зокрема відповідь Марка Клайсена, заснована на серії Тейлора і моїх, в яких обговорюється як RKHS, так і загальна версія вбудовування подана Дугласом нижче.

L_{2}

$L_2$

— Дугал

26

Дзен, що використовується методом 1. Ось метод 2: Зобразіть на сферично симетричний розподіл Гаусса з центром у у просторі Гільберта . Стандартне відхилення та постійний коефіцієнт повинні бути налаштовані, щоб це працювало точно. Наприклад, в одному вимірі, $x$ $x$ $L^2$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\exp [- (x - z)^{2} / (2 σ^{2})]}{\sqrt{2 π} σ} \frac{\exp [- (y - z)^{2} / (2 σ^{2})}{\sqrt{2 π} σ} d z = \frac{\exp [- (x - y)^{2} / (4 σ^{2})]}{2 \sqrt{π} σ} .

$\int_{-\infty}^\infty \frac{\exp[-(x-z)^2/(2\sigma^2)]}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \frac{\exp[-(y-z)^2/(2 \sigma^2)}{\sqrt{2 \pi} \sigma} dz = \frac{\exp [-(x-y)^2/(4 \sigma^2)]}{2 \sqrt \pi \sigma}.$

Отже, використовуємо стандартне відхилення і масштабуємо розподіл Гаусса, щоб отримати . Останнє масштабування відбувається тому, що норма нормального розподілу взагалі не дорівнює . $\sigma/\sqrt 2$ $k(x,y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$ $L^2$ $1$

— Дуглас Заре
джерело

2

@Zen, Дуглас Заре: дякую за чудові відповіді. Як я повинен зараз вибрати офіційну відповідь?

— Лев

23

Я буду використовувати метод 1. Перевір відповідь Дугласа Заре на підтвердження, використовуючи метод 2.

Я доведу випадок, коли - дійсні числа, тому . Загальний випадок випливає з цього ж аргументу mutatis mutandis і варто це зробити. $x,y$ $k(x,y)=\exp(-(x-y)^2/2\sigma^2)$

Не втрачаючи загальності, припустимо, що . $\sigma^2=1$

Запишіть , де - характерна функція випадкової величини з розподілом. $k(x,y)=h(x-y)$

h (t) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = E [e^{i t Z}]

$h(t)=\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)=\mathrm{E}\left[e^{itZ}\right]$

Z

$Z$

N (0, 1)

$N(0,1)$

Для дійсних чисел і , маємо що тягне за собою, що - позитивна напіввизначена функція, яка називається ядром. $x_1,\dots,x_n$ $a_1,\dots,a_n$

\sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} a_{k} h (x_{j} - x_{k}) = \sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} a_{k} E [e^{i (x_{j} - x_{k}) Z}] = E [\sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} e^{i x_{j} Z} a_{k} e^{- i x_{k} Z}] = E [{| \sum_{j = 1}^{n} a_{j} e^{i x_{j} Z} |}^{2}] \geq 0,

$\sum_{j,k=1}^n a_j\,a_k\,h(x_j-x_k) = \sum_{j,k=1}^n a_j\,a_k\,\mathrm{E} \left[ e^{i(x_j-x_k)Z}\right] = \mathrm{E} \left[ \sum_{j,k=1}^n a_j\,e^{i x_j Z}\,a_k\,e^{-i x_k Z}\right] = \mathrm{E}\left[ \left| \sum_{j=1}^n a_j\,e^{i x_j Z}\right|^2\right] \geq 0 \, ,$

k

$k$

Щоб зрозуміти цей результат в більш широкому розумінні, ознайомтеся з теоремою Бохнера: http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function

— Дзен
джерело

2

Це вдалий початок, у правильному напрямку, із двох застережень: (a) не дорівнює показаним очікуванням (перевірте знак у експоненті) та (b) це, мабуть, обмежує увагу на випадок, коли і - скаляри, а не вектори. Я тим часом підтримав позицію, тому що експозиція приємна і чиста, і я впевнений, що ви швидко усунете ці невеликі прогалини. :-)

h (t)

$h(t)$

x

$x$

y

$y$

— кардинал

1

Ткс! Я поспішаю сюди. :-)

— Дзен

1

Вибачте, я дійсно не бачу, як ви тут керуєте mutatis mutandis. Якщо ви розробляєте норму перед переходом на форму, тоді ви отримали продукти, і ви не можете поміняти товари та суму. І я просто не бачу, як виробити норму після переходу на h-форму, щоб отримати гарний вираз. Ви можете трохи повести мене туди? :)

h

$h$

— Альбуркерк

23

Я додам третій метод, просто для різноманітності: створення ядра з послідовності загальних етапів, відомих для створення ядер pd. Нехай позначає домен ядер нижче та карти функцій. $\mathcal X$ $\varphi$

Масштабування: Якщо є ядром pd, то для будь-якої постійної . $\kappa$ $\gamma \kappa$ $\gamma > 0$

Доведення: якщо - карта функції , є дійсною картою функцій для . $\varphi$ $\kappa$ $\sqrt\gamma \varphi$ $\gamma \kappa$
Підсумки: Якщо та є ядрами pd, то . $\kappa_1$ $\kappa_2$ $\kappa_1 + \kappa_2$

Доведення: Об’єднайте функції карт та , щоб отримати . $\varphi_1$ $\varphi_2$ $x \mapsto \begin{bmatrix}\varphi_1(x) \\ \varphi_2(x)\end{bmatrix}$
Обмеження: Якщо є ядрами pd, а існує для всіх , то - пд. $\kappa_1, \kappa_2, \dots$ $\kappa(x, y) := \lim_{n \to \infty} \kappa_n(x, y)$ $x, y$ $\kappa$

Доведення: для кожного і кожного ми маємо, що . Якщо встановити обмеження як це те саме властивість для . $m, n \ge 1$ $\{ (x_i, c_i) \}_{i=1}^m \subseteq \mathcal{X} \times \mathbb R$ $\sum_{i=1}^m c_i \kappa_n(x_i, x_j) c_j \ge 0$ $n \to \infty$ $\kappa$
Продукти: Якщо і є ядрами pd, так це . $\kappa_1$ $\kappa_2$ $g(x, y) = \kappa_1(x, y) \, \kappa_2(x, y)$

Доведення: Очевидно випливає з теореми про продукт Шура , але Schölkopf і Smola (2002) дають наступне приємне, елементарне підтвердження. Нехай бути незалежним. Отже Матриці коваріації повинні бути psd, тому враховуючи матрицю коваріації це доводить.
$(V_{1}, \dots, V_{m}) \sim N (0, {[κ_{1} (x_{i}, x_{j})]}_{i j}) (W_{1}, \dots, W_{m}) \sim N (0, {[κ_{2} (x_{i}, x_{j})]}_{i j})$ $(V_1, \dots, V_m) \sim \mathcal{N}\left( 0, \left[ \kappa_1(x_i, x_j) \right]_{ij} \right) \\ (W_1, \dots, W_m) \sim \mathcal{N}\left( 0, \left[ \kappa_2(x_i, x_j) \right]_{ij} \right)$ $C o v (V_{i} W_{i}, V_{j} W_{j}) = C o v (V_{i}, V_{j}) C o v (W_{i}, W_{j}) = κ_{1} (x_{i}, x_{j}) κ_{2} (x_{i}, x_{j}) .$ $\mathrm{Cov}(V_i W_i, V_j W_j) = \mathrm{Cov}(V_i, V_j) \,\mathrm{Cov}(W_i, W_j) = \kappa_1(x_i, x_j) \kappa_2(x_i, x_j).$ $(V_1 W_1, \dots, V_n W_n)$
Повноваження: Якщо є ядром pd, то так же для будь-якого додатного цілого числа . $\kappa$ $\kappa^n(x, y) := \kappa(x, y)^n$ $n$

Доказ: негайно від власності "товари".
Експоненти: Якщо є ядром pd, то це так . $\kappa$ $e^\kappa(x, y) := \exp(\kappa(x, y))$

Доведення: маємо ; використовувати властивості "повноваження", "масштабування", "суми" та "обмеження". $e^\kappa(x, y) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{n!} \kappa(x, y)^n$
Функції: Якщо - ядро pd, а , також. $\kappa$ $f : \mathcal X \to \mathbb R$ $g(x, y) := f(x) \kappa(x, y) f(y)$

Доказ: Використовуйте карту функцій . $x \mapsto f(x) \varphi(x)$

Тепер зауважимо, що Почніть з лінійного ядра , застосуйте "масштабування" за допомогою , застосуйте "експоненти" та застосуйте "функції" за допомогою .

\begin{aligned} k (x, y) & = \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x - y ‖^{2}) \\ = \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x ‖^{2}) \exp (\frac{1}{σ^{2}} x^{T} y) \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ y ‖^{2}) . \end{aligned}

$\begin{align*} k(x, y) &= \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x - y \rVert^2 \right) \\&= \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x \rVert^2 \right) \exp\left( \tfrac{1}{\sigma^2} x^T y \right) \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert y \rVert^2 \right) .\end{align*}$

κ (x, y) = x^{T} y

$\kappa(x, y) = x^T y$

\frac{1}{σ^{2}}

$\frac{1}{\sigma^2}$

x \mapsto \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x ‖^{2})

$x \mapsto \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x \rVert^2 \right)$

— Дугал
джерело