Обмежується різницею корельованих випадкових величин

З огляду на дві сильно корельовані випадкові величини і , я хотів би обмежити ймовірність того, що різницяперевищує деяку кількість: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Припустимо для простоти, що:

Відомо, що коефіцієнт кореляції "високий", скажімо: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ - нульове значення: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (або якщо це простіше) $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(Якщо це полегшує справи, скажімо, мають однакову дисперсію: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

Не впевнений, наскільки можливо здійснити обмеження на різницю з урахуванням лише наведеної вище інформації (я, звичайно, нікуди не міг потрапити). Конкретне рішення (якщо воно є), обов'язкові додаткові обмеження, що накладаються на розповсюдження, або просто поради щодо підходу, було б чудово.

correlation mathematical-statistics bounds

— Аванті89
джерело

Навіть не маючи спрощених припущень, зв’язок можна отримати, поєднавши пару звичайних інструментів:

Дисперсія різниці двох корельованих змінних . Це дозволяє перетворити задачу на дві змінні в універсальну задачу.
Нерівність Чебишева . Він ставить межу на ймовірність перевищення заданого значення.

Докладно:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

Відповідно до нерівності Чебишева, для будь-якої випадкової величини : $Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Тоді (і використовуючи це : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Ми можемо використовувати запропоновані спрощення припущень для отримання більш простого вираження. Коли:

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Тоді:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

І таким чином:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

Цікаво, що цей результат справедливий, навіть якщо не малий, і якщо умова кореляції змінюється з на , результат не змінюється (тому що це вже нерівність). $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Пере
джерело