Як інтерпретувати коефіцієнти регресії, коли реакція трансформувалася 4-м коренем?

Я використовую четверту кореневу ( 1/4) потужність перетворення на моїй змінній реакції, як результат гетероскедастичності. Але зараз я не впевнений, як інтерпретувати свої коефіцієнти регресії.

Я припускаю, що мені потрібно взяти коефіцієнти до четвертої потужності при зворотній трансформації (див. Нижче вихід регресії). Усі змінні є в одиницях долара в мільйонах, але я хотів би знати зміну долара в мільярдах.

Утримуючи іншу незалежну змінну постійну, зміна плати в мільярд доларів в середньому призводить до зміни 32(або 32 000 доларів) колекцій. Я беру 0.000075223 * 1000(щоб дістати мільярди) ^ 4 = 0.000032. Тепер я помножую це число на 1 мільйон чи 1 мільярд (початкова одиниця залежної змінної - у мільйонах)?

lm(formula = (Collections^(1/4)) ~ Fees + DIR)

                 Estimate      Std. Error  t value            Pr(>|t|)
(Intercept)   2.094573355     0.112292375   18.653  0.0000000000000151
Fees        **0.000075223   **0.000008411    8.943  0.0000000131878713
DIR           0.000022279     0.000004107    5.425  0.0000221138881913

Найкраще рішення - спочатку вибрати репрезентацію, яка має значення в галузі вивчення.

(Наприклад, при регресуванні ваги тіла від незалежних факторів, ймовірно, буде вказано або корінь куба ( потужності), або квадратний корінь ( потужності). Зазначаючи, що вага - це хороший проксі для об'єму, куб корінь - це довжина, що представляє характерний лінійний розмір. Це надає йому інтуїтивного, потенційно інтерпретаційного значення. Хоча квадратний корінь сам по собі не має такої чіткої інтерпретації, він близький до потужності , яка має розміри площі поверхні : він може відповідати загальній площі шкіри.)1 / 2 2 /$1/3$$1/2$$2/3$

Четверта потужність достатньо близька до логарифму, який слід розглянути, використовуючи журнал , значення якого добре зрозуміло. Але іноді ми дійсно виявляємо, що кубиковий корінь або квадратний корінь або якась така дробова сила робить чудову роботу, і вона не має очевидного тлумачення. Тоді ми повинні зробити трохи арифметики.

Модель регресії, показана у запитанні, включає залежну змінну ("Колекції") та дві незалежні змінні ("Комісії") та ("DIR"). Це гадає, щоX 1 X $Y$$X_1$$X_2$

$$Y^{1/4} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +\varepsilon.$$

Код оцінює як , як , а як . Він також передбачає, що є нормальним з нульовою середньою, і він оцінює їх загальну дисперсію (не показано). За цими оцінками придатне значення дорівнюєб 0 = 2,094573355 β 1 б 1 = 0,000075223 β 2 б 2 = 0,000022279 ε Y 1 /$\beta_0$$b_0=2.094573355$$\beta_1$$b_1=0.000075223$$\beta_2$$b_2=0.000022279$$\varepsilon$$Y^{1/4}$

$$\widehat{Y^{1/4}} = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2.$$

"Інтерпретація" коефіцієнтів регресії зазвичай означає визначення того, яка зміна залежної змінної пропонується заданою зміною кожної незалежної змінної. Ці зміни є похідними , для яких правило Ланцюга дорівнює . Тоді ми б підключили оцінки і сказали щось подібне 4 β i Y $dY/dX_i$$4\beta_iY^3$

Оцінки регресії , що зміна одиниці в будуть пов'язані зі зміною з = . Y 4 б я Y 3 4 б я ( б 0 + б 1 Х 1 + Ь 2 Х 2 )$X_i$$Y$$4b_i\widehat{Y}^3$$4b_i\left(b_0+b_1X_1+b_2X_2\right)^3$

Залежність інтерпретації від і не виражається просто словами,Х $X_1$$X_2$ У Й я б я Y X я б я У4 б 1 4×0,0000752230,000301 на відміну від ситуацій без перетворення (одна зміна одиниці в пов'язана зі зміною в ) або з логарифмом (один відсоток зміни в пов'язана зі зміною відсотків у ). Однак, зберігаючи першу форму інтерпретації та обчислюючи = = , ми можемо констатувати щось на зразок$Y$$X_i$$b_i$$Y$$X_i$$b_i$$Y$$4b_1$$4\times 0.000075223$$0.000301$

Зміна одиниць плати пов'язана зі зміною колекцій у разів більше куба поточних колекцій; Наприклад, якщо поточні колекції становлять , то збільшення одиниць збірних платежів пов'язане зі збільшенням на в колекціях, а якщо поточних колекцій - , то таке ж збільшення одиниць збільшиться з збільшенням на в колекціях.10 0,301 20 $0.000301$$10$$0.301$$20$$2.41$

---

Якщо ви отримуєте коріння, окрім четвертого - скажімо, при використанні як відповіді, а не самого , з nonzero - просто замініть всі види " " у цьому аналізі на " ". Y p 4 1 /$Y^p$$Y$$p$$4$$1/p$

Альтернативою трансформації тут є використання узагальненої лінійної моделі з потужністю та потужністю функції 1/4. Яка сім'я помилок використовувати відкрито, що дає вам більшу гнучкість, ніж у вас з лінійною регресією та припущенням про умовну нормальність. Однією з головних переваг цієї процедури є те, що прогнози виробляються автоматично за початковою шкалою вимірювання, тому не виникає питання про зворотну трансформацію.

Я бачив документи, що використовують коефіцієнти квартичної кореневої регресії, думаючи про відсоткові зміни, уникаючи при цьому журналів (і відкидаючи спостереження).

Якщо нам цікаво використовувати квартичні корені для обчислення відсоткових змін, ми знаємо, що:

$\hat{Y} = (\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2)^4 \implies \frac{d\hat{Y}}{dX_1} = 4\hat{\beta}_1(\alpha+\hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2)^3$

$Y$$X$$X$

$\frac{d\hat{Y}/dX_1}{Y} = \frac{4\hat{\beta}_1}{\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2}$

Для еквівалента регресії лог-журналу, в якій нас цікавить відсоток у внаслідок зміни відсотка в , ми мали б:$Y$$X$

$\frac{d\hat{Y}}{dX_1}\frac{X_1}{\hat{Y}} = \frac{4\hat{\beta}_1 X_1}{\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2}$

Це не здається особливо зручним (я віддаю перевагу перетворенню журналу), але це можна зробити, або оцінюючи значення на вибіркові засоби, або на гіпотетичні значення. $X$

Я припускаю, що насправді ви можете замінити знаменник середнім значенням вибірки , і це було б трохи зручніше.$Y^{1/4}$