Нехай - взаємно незалежні випадкові величини, кожна з яких має розподіл гами з параметрами показують, що , мають спільний розподіл у вигляді
Спільний pdf з Тоді, щоб знайти спільний pdf зя не можу знайти якобіан, тобто
Нехай - взаємно незалежні випадкові величини, кожна з яких має розподіл гами з параметрами показують, що , мають спільний розподіл у вигляді
Спільний pdf з Тоді, щоб знайти спільний pdf зя не можу знайти якобіан, тобто
Відповіді:
Якобійці - абсолютні детермінанти зміни функції змінної - здаються грізними і можуть бути складними. Тим не менш, вони є важливою і неминучою частиною обчислення багатоваріантної зміни змінної. Здавалося б, для цього немає нічого, окрім як записати матрицю на похідних і зробити обчислення.
Є кращий спосіб. Це показано в кінці в розділі "Рішення". Оскільки мета цієї посади - ознайомити статистиків з тим, що може бути новим методом для багатьох, значна частина присвячена поясненню механізму рішення. Це алгебра диференціальних форм . (Диференціальні форми - це речі, які об'єднуються в декількох вимірах.) Доданий детальний, відпрацьований приклад, який допоможе зробити це більш звичним.
Понад століття тому математики розробили теорію диференціальної алгебри для роботи з "похідними вищого порядку", які зустрічаються в багатовимірній геометрії. Детермінант - це окремий випадок основних об'єктів, що маніпулюються такими алгебрами, які зазвичай є чергуванням багатолінійних форм . Краса цього полягає в тому, наскільки простими можуть стати розрахунки.
Ось усе, що вам потрібно знати.
Диференціала є виразом виду « ». Це з'єднання " " з будь-якою назвою змінної.
Один-форма являє собою лінійну комбінацію диференціалів, таких як або навіть х 2 д х 1 - ехр ( х 2 ) д х 2 . Тобто коефіцієнти - це функції змінних.
Форми можна "помножити", використовуючи клиновий добуток , написаний . Цей продукт є антикомутативним (його також називають чергуванням ): для будь-яких двох одноформатних ω і η ,
Це множення є лінійним та асоціативним: іншими словами, воно працює звично. Безпосереднім наслідком є те, що , маючи на увазі, що квадрат будь-якої однієї форми завжди дорівнює нулю. Це робить розмноження надзвичайно простим!
Для маніпулювання інтегралами, які з'являються у ймовірних обчисленнях, такий вираз, як можна розуміти як | d x 1 ∧ d x 2 ∧ ⋯ ∧ d x k + 1 | .
Коли є функцією, то її диференціал задається диференціацією:
Зв'язок з якобійцями такий: якобіан перетворення , до знака, просто коефіцієнт d x що з’являється в обчислювальній техніці
після розширення кожного з як лінійної комбінації d x j у правилі (5).
Простота цього визначення якобіанців приваблива. Ще не впевнені, що варто? Розглянемо відому проблему перетворення двовимірних інтегралів з декартових координат в полярні координати ( r , θ ) , де ( x , y ) = ( r cos ( θ ) , r sin ( θ ) ) . Далі - цілком механічне застосування попередніх правил, де " ( ∗ )"використовується для скорочення виразів, які, очевидно, зникнуть в силу правила (3), що означає .
The point of this is the ease with which such calculations can be performed, without messing about with matrices, determinants, or other such multi-indicial objects. You just multiply things out, remembering that wedges are anti-commutative. It's easier than what is taught in high school algebra.
Let's see this differential algebra in action. In this problem, the PDF of the joint distribution of is the product of the individual PDFs (because the are assumed to be independent). In order to handle the change to the variables we must be explicit about the differential elements that will be integrated. These form the term . Including the PDF gives the probability element
(The normalizing constant has been ignored; it will be recovered at the end.)
Staring at the definitions of the a few seconds ought to reveal the utility of introducing the new variable
giving the relationships
This suggests making the change of variables in the probability element. The intention is to retain the first variables along with and then integrate out . To do so, we have to re-express all the in terms of the new variables. This is the heart of the problem. It's where the differential algebra takes place. To begin with,
Note that since , then
Consider the one-form
It appears in the differential of the last variable:
The value of this lies in the observation that
because, when you expand this product, there is one term containing as a factor, another containing , and so on: they all disappear. Consequently,
Whence (because all products disappear),
The Jacobian is simply , the coefficient of the differential product on the right hand side.
The transformation is one-to-one: its inverse is given by for and . Therefore we don't have to fuss any more about the new probability element; it simply is
That is manifestly a product of a Gamma distribution (for ) and a Dirichlet distribution (for ). In fact, since the original normalizing constant must have been a product of , we deduce immediately that the new normalizing constant must be divided by , enabling the PDF to be written