Як легко визначити розподіл результатів для кількох кісток?

Я хочу обчислити розподіл ймовірності для загальної кількості комбінацій кісток.

Я пам’ятаю, що ймовірність - це кількість комбінацій, що становить ціле число від загальної кількості комбінацій (якщо припустити, що кістки мають рівномірний розподіл).

Для чого формули

• Загальна кількість комбінацій
• Кількість комбінацій, що складають певну кількість

Точні рішення

Кількість комбінацій у $n$ кидках, звичайно, $6^n$ .

Ці обчислення найчастіше проводяться за допомогою функції, що генерує ймовірність, на одну матрицю,

$$p(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 = x \frac{1-x^6}{1-x}.$$

(Насправді це в $6$ разів більше pgf - я подбаю про коефіцієнт $6$ в кінці.)

Pgf для $n$ рулонів - $p(x)^n$ . Ми можемо обчислити це досить безпосередньо - це не закрита форма, але вона корисна - використовуючи теорію бінома:

$$p(x)^n = x^n (1 - x^6)^n (1 - x)^{-n}$$

$$= x^n \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^k x^{6k} \right) \left( \sum_{j=0}^{\infty} {-n \choose j} (-1)^j x^j\right).$$

Кількість способів отримати суму, рівну $m$ на кубиках, - це коефіцієнт $x^m$ у цьому продукті, який ми можемо виділити як

$$\sum_{6k + j = m - n} {n \choose k}{-n \choose j}(-1)^{k+j}.$$

Сума перевищує всі негативні $k$ і $j$ для яких $6k + j = m - n$ ; тому він є кінцевим і має лише приблизно $(m-n)/6$ доданків. Наприклад, кількість способів добути $m = 14$ у $n = 3$ кидках - це сума всього двох доданків, тому що $11 = 14-3$ можна записати лише як $6 \cdot 0 + 11$ і $6 \cdot 1 + 5$ :

$$-{3 \choose 0} {-3 \choose 11} + {3 \choose 1}{-3 \choose 5}$$

$$= 1 \frac{(-3)(-4)\cdots(-13)}{11!} + 3 \frac{(-3)(-4)\cdots(-7)}{5!}$$

$$= \frac{1}{2} 12 \cdot 13 - \frac{3}{2} 6 \cdot 7 = 15.$$

(Ви також можете бути розумними і зауважити, що відповідь буде однаковою для $m = 7$ за симетрією 1 <--> 6, 2 <--> 5 і 3 <--> 4, і є лише один спосіб розширити $7 - 3$ як $6 k + j$ ; а саме, при $k = 0$ і $j = 4$ , даючи

$${3 \choose 0}{-3 \choose 4} = 15 \text{.}$$

Тому ймовірність дорівнює $15/6^3$ = $5/36$ , близько 14%.

By the time this gets painful, the Central Limit Theorem provides good approximations (at least to the central terms where $m$ is between $\frac{7 n}{2} - 3 \sqrt{n}$ and $\frac{7 n}{2} + 3 \sqrt{n}$: on a relative basis, the approximations it affords for the tail values get worse and worse as $n$ grows large).

I see that this formula is given in the Wikipedia article Srikant references but no justification is supplied nor are examples given. If perchance this approach looks too abstract, fire up your favorite computer algebra system and ask it to expand the $n^{\text{th}}$ power of $x + x^2 + \cdots + x^6$: you can read the whole set of values right off. E.g., a Mathematica one-liner is

With[{n=3}, CoefficientList[Expand[(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n], x]]

Yet another way to quickly compute the probability distribution of a dice roll would be to use a specialized calculator designed just for that purpose.

Torben Mogensen, a CS professor at DIKU has an excellent dice roller called Troll.

The Troll dice roller and probability calculator prints out the probability distribution (pmf, histogram, and optionally cdf or ccdf), mean, spread, and mean deviation for a variety of complicated dice roll mechanisms. Here are a few examples that show off Troll's dice roll language:

Roll 3 6-sided dice and sum them: sum 3d6.

Roll 4 6-sided dice, keep the highest 3 and sum them: sum largest 3 4d6.

Roll an "exploding" 6-sided die (i.e., any time a "6" comes up, add 6 to your total and roll again): sum (accumulate y:=d6 while y=6).

Troll's SML source code is available, if you want to see how its implemented.

Professor Morgensen also has a 29-page paper, "Dice Rolling Mechanisms in RPGs," in which he discusses many of the dice rolling mechanisms implemented by Troll and some of the mathematics behind them.

A similar piece of free, open-source software is Dicelab, which works on both Linux and Windows.

$\newcommand{red}{\color{red}}$ $\newcommand{blue}{\color{blue}}$

Let the first die be red and the second be black. Then there are 36 possible results:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &1&2&3&4&5&6\\\hline \red{1}&\red{1},1&\red{1},2&\red{1},3&\red{1},4&\red{1},5&\red{1},6\\ &\blue{^2}&\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}\\\hline \red{2}&\red{2},1&\red{2},2&\red{2},3&\red{2},4&\red{2},5&\red{2},6\\ &\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}\\\hline \red{3}&\red{3},1&\red{3},2&\red{3},3&\red{3},4&\red{3},5&\red{3},6\\ &\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}\\\hline \red{4}&\red{4},1&\red{4},2&\red{4},3&\red{4},4&\red{4},5&\red{4},6\\ &\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}\\\hline \red{5}&\red{5},1&\red{5},2&\red{5},3&\red{5},4&\red{5},5&\red{5},6\\ &\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}\\\hline \red{6}&\red{6},1&\red{6},2&\red{6},3&\red{6},4&\red{6},5&\red{6},6\\ &\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}&\blue{^{12}}\\\hline \end{array}$$

Each of these 36 ($\red{\text{red}},\text{black}$) results are equally likely.

When you sum the numbers on the faces (total in $\blue{\text{blue}}$), several of the (red,black) results end up with the same total -- you can see this with the table in your question.

So for example there's only one way to get a total of $2$ (i.e. only the event ($\red{1},1$)), but there's two ways to get $3$ (i.e. the elementary events ($\red{2},1$) and ($\red{1},2$)). So a total of $3$ is twice as likely to come up as $2$. Similarly there's three ways of getting $4$, four ways of getting $5$ and so on.

Now since you have 36 possible (red,black) results, the total number of ways of getting all the different totals is also 36, so you should divide by 36 at the end. Your total probability will be 1, as it should be.

There's a very neat way of computing the combinations or probabilities in a spreadsheet (such as excel) that computes the convolutions directly.

I'll do it in terms of probabilities and illustrate it for six sided dice but you can do it for dice with any number of sides (including adding different ones).

(btw it's also easy in something like R or matlab that will do convolutions)

Start with a clean sheet, in a few columns, and move down a bunch of rows from the top (more than 6).

1. put the value 1 in a cell. That's the probabilities associated with 0 dice. put a 0 to its left; that's the value column - continue down from there with 1,2,3 down as far as you need.

2. move one column to the right and down a row from the '1'. enter the formula "=sum(" then left-arrow up-arrow (to highlight the cell with 1 in it), hit ":" (to start entering a range) and then up-arrow 5 times, followed by ")/6" and press Enter - so you end up with a formula like =sum(c4:c9)/6 (where here C9 is the cell with the 1 in it).

   

   Then copy the formula and paste it to the 5 cells below it. They should each contain 0.16667 (ish).

   

   Don't type anything into the empty cells these formulas refer to!

3. move down 1 and to the right 1 from the top of that column of values and paste ...

   

   ... a total of another 11 values. These will be the probabilities for two dice.

   

   It doesn't matter if you paste a few too many, you'll just get zeroes.

4. repeat step 3 for the next column for three dice, and again for four, five, etc dice.

   

   We see here that the probability of rolling $12$ on 4d6 is 0.096451 (if you multiply by $4^6$ you'll be able to write it as an exact fraction).

If you're adept with Excel - things like copying a formula from a cell and pasting into many cells in a column, you can generate all tables up to say 10d6 in about a minute or so (possibly faster if you've done it a few times).

---

If you want combination counts instead of probabilities, don't divide by 6.

If you want dice with different numbers of faces, you can sum $k$ (rather than 6) cells and then divide by $k$. You can mix dice across columns (e.g. do a column for d6 and one for d8 to get the probability function for d6+d8):

Approximate Solution

I explained the exact solution earlier (see below). I will now offer an approximate solution which may suit your needs better.

Let:

$X_i$ be the outcome of a roll of a $s$ faced dice where $i=1, ... n$.

$S$ be the total of all $n$ dice.

$\bar{X}$ be the sample average.

By definition, we have:

$\bar{X} = \frac{\sum_iX_i}{n}$

In other words,

$\bar{X} = \frac{S}{n}$

The idea now is to visualize the process of observing ${X_i}$ as the outcome of throwing the same dice $n$ times instead of as outcome of throwing $n$ dice. Thus, we can invoke the central limit theorem (ignoring technicalities associated with going from discrete distribution to continuous), we have as $n \rightarrow \infty$:

$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$

where,

$\mu = (s+1)/2$ is the mean of the roll of a single dice and

$\sigma^2 = (s^2-1)/12$ is the associated variance.

The above is obviously an approximation as the underlying distribution $X_i$ has discrete support.

But,

$S = n \bar{X}$.

Thus, we have:

$S \sim N(n \mu, n \sigma^2)$.

Exact Solution

Wikipedia has a brief explanation as how to calculate the required probabilities. I will elaborate a bit more as to why the explanation there makes sense. To the extent possible I have used similar notation to the Wikipedia article.

Suppose that you have $n$ dice each with $s$ faces and you want to compute the probability that a single roll of all $n$ dice the total adds up to $k$. The approach is as follows:

Define:

$F_{s,n}(k)$: Probability that you get a total of $k$ on a single roll of $n$ dices with $s$ faces.

By definition, we have:

$F_{s,1}(k) = \frac{1}{s}$

The above states that if you just have one dice with $s$ faces the probability of obtaining a total $k$ between 1 and s is the familiar $\frac{1}{s}$.

Consider the situation when you roll two dice: You can obtain a sum of $k$ as follows: The first roll is between 1 to $k-1$ and the corresponding roll for the second one is between $k-1$ to $1$. Thus, we have:

$F_{s,2}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-1}{F_{s,1}(i) F_{s,1}(k-i)}$

Now consider a roll of three dice: You can get a sum of $k$ if you roll a 1 to $k-2$ on the first dice and the sum on the remaining two dice is between $k-1$ to $2$. Thus,

$F_{s,3}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-2}{F_{s,1}(i) F_{s,2}(k-i)}$

Continuing the above logic, we get the recursion equation:

$F_{s,n}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-n+1}{F_{s,1}(i) F_{s,n-1}(k-i)}$

See the Wikipedia link for more details.

Характерні функції можуть зробити обчислення, що включають суми та відмінності випадкових величин, дуже просто. Mathematica має безліч функцій для роботи зі статистичними розподілами, включаючи вбудований для перетворення розподілу в його характерну функцію.

Я хотів би проілюструвати це двома конкретними прикладами: (1) Припустимо, ви хотіли визначити результати прокатки колекції кісток з різною кількістю сторін, наприклад, розкачайте два шестигранні кістки плюс один восьмисторонній штамб (тобто , 2d6 + d8 )? Або (2) припустимо, ви хотіли знайти різницю двох рулонів з кістки (наприклад, d6-d6 )?

An easy way to do this would be to use the characteristic functions of the underlying discrete uniform distributions. If a random variable $X$ has a probability mass function $f$, then its characteristic function $\varphi_X(t)$ is just the discrete Fourier Transform of $f$, i.e., $\varphi_X(t) = \mathcal{F}\{f\}(t) = E[e^{i t X}]$. A theorem tells us:

If the independent random variables $X$ and $Y$ have corresponding probability mass functions $f$ and $g$, then the pmf $h$ of the sum $X + Y$ of these RVs is the convolution of their pmfs $h(n) = (f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n-m)$.

We can use the convolution property of Fourier Transforms to restate this more simply in terms of characteristic functions:

The characteristic function $\varphi_{X+Y}(t)$ of the sum of independent random variables $X$ and $Y$ equals the product of their characteristic functions $\varphi_{X}(t) \varphi_{Y}(t)$.

This Mathematica function will make the characteristic function for an s-sided die:

MakeCf[s_] := 
 Module[{Cf}, 
  Cf := CharacteristicFunction[DiscreteUniformDistribution[{1, s}], 
    t];
  Cf]

The pmf of a distribution can be recovered from its characteristic function, because Fourier Transforms are invertible. Here is the Mathematica code to do it:

RecoverPmf[Cf_] := 
  Module[{F}, 
    F[y_] := SeriesCoefficient[Cf /. t -> -I*Log[x], {x, 0, y}];
    F]

Continuing our example, let F be the pmf that results from 2d6+d8.

F := RecoverPmf[MakeCf[6]^2 MakeCf[8]]

There are $6^2 \cdot 8 = 288$ outcomes. The domain of support of F is $S=\{3,\ldots,20\}$. Three is the min because you're rolling three dice. And twenty is the max because $20 = 2 \cdot 6 + 8$. If you want to see the image of F, compute

In:= F /@ Range[3, 20]

Out= {1/288, 1/96, 1/48, 5/144, 5/96, 7/96, 13/144, 5/48, 1/9, 1/9, \
5/48, 13/144, 7/96, 5/96, 5/144, 1/48, 1/96, 1/288}

If you want to know the number of outcomes that sum to 10, compute

In:= 6^2 8 F[10]

Out= 30

If the independent random variables $X$ and $Y$ have corresponding probability mass functions $f$ and $g$, then the pmf $h$ of the difference $X - Y$ of these RVs is the cross-correlation of their pmfs $h(n) = (f \star g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n+m)$.

We can use the cross-correlation property of Fourier Transforms to restate this more simply in terms of characteristic functions:

The characteristic function $\varphi_{X-Y}(t)$ of the difference of two independent random variables ${X,Y}$ equals the product of the characteristic function $\varphi_{X}(t)$ and $\varphi_{Y}(-t)$ (N.B. the negative sign in front of the variable t in the second characteristic function).

So, using Mathematica to find the pmf G of d6-d6:

G := RecoverPmf[MakeCf[6] (MakeCf[6] /. t -> -t)]

There are $6^2 = 36$ outcomes. The domain of support of G is $S=\{-5,\ldots,5\}$. -5 is the min because $-5=1-6$. And 5 is the max because $6-1=5$. If you want to see the image of G, compute

In:= G /@ Range[-5, 5]

Out= {1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36}

Ось ще один спосіб обчислити розподіл ймовірності суми двох кубиків вручну за допомогою згортків.

Щоб приклад насправді був простим, ми будемо обчислювати розподіл ймовірності суми тристороннього штампу (d3), випадкову змінну якого будемо називати X, і двостороннього штампу (d2), випадкову змінну якого будемо дзвоніть Y.

Ви збираєтесь зробити стіл. У верхньому рядку запишіть розподіл ймовірності X (результати прокатки справедливого d3). Внизу лівого стовпця запишіть розподіл ймовірності Y (результати прокатки справедливого d2).

Ви збираєтеся побудувати зовнішній добуток верхнього ряду ймовірностей із лівим стовпцем ймовірностей. Наприклад, нижня права клітина буде добутком Pr [X = 3] = 1/3 рази Pr [Y = 2] = 1/2, як показано на супровідній фігурі. У нашому спрощеному прикладі всі клітини рівні 1/6.

Далі ви збираєтеся підсумовувати по косих лініях матриці зовнішнього продукту, як показано на супровідній схемі. Кожна коса лінія проходить через одну або кілька комірок, які я пофарбував однаково: Верхня лінія проходить через одну синю клітинку, наступна лінія - через дві червоні клітинки тощо.

Кожна із сум уздовж косих представляє ймовірність отриманого розподілу. Наприклад, сума червоних комірок дорівнює ймовірності підведення двох кубиків до 3. Ці ймовірності показані в правій частині супровідної діаграми.

Цей прийом можна використовувати при будь-яких двох дискретних розподілах з кінцевою підтримкою. І ви можете застосовувати його ітераційно. Наприклад, якщо ви хочете знати розподіл трьох шестигранних кісток (3d6), спочатку можна обчислити 2d6 = d6 + d6; то 3d6 = d6 + 2d6.

Існує безкоштовний (але закрита ліцензія) мову програмування під назвою J . Мова на основі масиву з коренями в APL. Він вбудований в оператори для виконання зовнішніх виробів і сум по косах в матрицях, що робить техніку, яку я проілюстрував, досить простою у виконанні.

In the following J code, I define two verbs. First the verb d constructs an array representing the pmf of an s-sided die. For example, d 6 is the pmf of a 6-sided die. Second, the verb conv finds the outer product of two arrays and sums along the oblique lines. So conv~ d 6 prints out the pmf of 2d6:

d=:$%
conv=:+//.@(*/)
|:(2+i.11),:conv~d 6
 2 0.0277778
 3 0.0555556
 4 0.0833333
 5  0.111111
 6  0.138889
 7  0.166667
 8  0.138889
 9  0.111111
10 0.0833333
11 0.0555556
12 0.0277778

As you can see, J is cryptic, but terse.

Це насправді дивно складне питання. На щастя для вас, існує точне рішення, яке тут дуже добре пояснено:

http://mathworld.wolfram.com/Dice.html

Ймовірність, яку ви шукаєте, задається рівнянням (10): "Ймовірність отримання p точок (рулону p) на n-однобічних кубиках".

У вашому випадку: p = спостережуваний бал (сума всіх кісток), n = кількість кісток, s = 6 (6-сторонні кубики). Це дає вам таку функцію масової ймовірності:

$$P(X_n = p) = \frac{1}{s^n} \sum_{k=0}^{\lfloor(p-n)/6\rfloor} (-1)^k {n \choose k} {p-6k-1 \choose n-1}$$

Love the username! Well done :)

The outcomes you should count are the dice rolls, all $6\times 6=36$ of them as shown in your table.

For example, $\frac{1}{36}$ of the time the sum is $2$, and $\frac{2}{36}$ of the time the sum is $3$, and $\frac{4}{36}$ of the time the sum is $4$, and so on.

Ви можете вирішити це за допомогою рекурсивної формули. У такому випадку ймовірності валків з$n$ кістки обчислюються рулетами з $n-1$ кубики.

$$a_n(l) = \sum_{l-6 \leq k \leq l-1 \\ \text{ and } n-1 \leq k \leq 6(n-1)} a_{n-1}(k)$$

Перша межа для k у підсумовуванні - шість попередніх чисел. Наприклад, якщо ви хочете розгорнути 13 з 3-х кісток, тоді ви можете це зробити, якщо ваші перші два кості будуть котитися між 7 і 12.

Друга межа для k у підсумовуванні - це межі того, що можна згорнути з n-1 кістки

Результат:

1 1 1  1  1   1
1 2 3  4  5   6   5  4   3   2   1
1 3 6  10 15  21  25 27  27  25  21  15  10  6    3   1
1 4 10 20 35  56  80 104 125 140 146 140 125 104  80  56  35  20  10   4   1
1 5 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780 780 735 651 540 420 305 205 126 70 35 15 5 1  

---

edit: The above answer was an answer from another question that was merged into the question by C.Ross

The code below shows how the calculations for that answer (to the question asking for 5 dice) were performed in R. They are similar to the summations performed in Excel in the answer by Glen B.

# recursive formula
nextdice <- function(n,a,l) {
  x = 0
  for (i in 1:6) {
    if ((l-i >= n-1) & (l-i<=6*(n-1))) {
      x = x+a[l-i-(n-2)]
    }
  }
  return(x)  
}  

# generating combinations for rolling with up to 5 dices
a_1 <- rep(1,6)
a_2 <- sapply(2:12,FUN = function(x) {nextdice(2,a_1,x)})
a_3 <- sapply(3:18,FUN = function(x) {nextdice(3,a_2,x)})
a_4 <- sapply(4:24,FUN = function(x) {nextdice(4,a_3,x)})
a_5 <- sapply(5:30,FUN = function(x) {nextdice(5,a_4,x)})

Один із підходів - сказати, що ймовірність $X_n=k$ - коефіцієнт $x^{k}$ в розширенні функції, що генерує

$$\left(\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1}{6}\right)^n=\left(\frac{x(1-x^6)}{6(1-x)}\right)^n$$

Так, наприклад, з шістьма кубиками та ціллю$k=22$, Ви знайдете $P(X_6=22)= \frac{10}{6^6}$. Це посилання (на питання math.stackexchange) дає й інші підходи