Чому коефіцієнти логістичної регресії в експоненційному масштабі вважаються коефіцієнтами шансів?

Логістична регресія моделює часові шанси події як деякий набір прогнокторів. Тобто журнал (p / (1-p)), де p - ймовірність певного результату. Таким чином, інтерпретація необроблених коефіцієнтів регресії логістики для деякої змінної (x) повинна знаходитися на шкалі шансів журналу. Тобто, якщо коефіцієнт для x = 5, то ми знаємо, що зміна 1 одиниці на x відповідає кореспонденту на 5 одиниць за шкалою шансів на журнал, що результат відбудеться.

Однак я часто бачу, як люди інтерпретують коефіцієнти логістичної регресії в експоненційному масштабі як коефіцієнти шансів. Однак чітко exp (log (p / (1-p))) = p / (1-p), що є шансом. Наскільки я розумію, коефіцієнт шансів - це шанси однієї події, що відбувається (наприклад, p / (1-p) для події A) над шансами іншої події (наприклад, p / (1-p) для події Б).

Що я тут пропускаю? Схоже, що ця загальна інтерпретація коефіцієнтів логістичної регресії в експоненційному масштабі невірна.

@ Відповідь Лаконіка, на мій погляд, чудова і повна. Щось я хотів додати, це те, що вихідні коефіцієнти описують різницю коефіцієнтів журналу для двох одиниць, які відрізняються на 1 в прогнокторі. Наприклад, для коефіцієнта на 5 можна сказати, що різниця в коефіцієнтах журналу між двома одиницями, які відрізняються на на 1, становить 5. Математично,$X$$X$

$$\beta = \log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))$$

Коли ви виставляєте , ви отримуєте$\beta$

$$\exp(\beta) = \exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))) \\ = \frac{\exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1)))}{\exp(\log(\text{odds}((p|X=x_0)))} \\ = \frac{\text{odds}(p|X=x_0+1)}{\text{odds}(p|X=x_0))}$$

що є співвідношенням шансів, коефіцієнтом шансів.

Розглянемо дві сукупності умов, першу описану вектором незалежних змінних , а другу, описану вектором , яка відрізняється лише i-ї змінною , і однією одиницею. Нехай - вектор параметрів моделі, як зазвичай.X ′ x i$X$$X'$$x_i$$\beta$

Згідно з логістичною регресійною моделлю, ймовірність події, яка відбудеться в першому випадку, є , так що шанси події, що відбувається, є . p$p_1 = \frac{1}{1 + \exp(-X \beta)}$$\frac{p_1}{1-p_1} = \exp(X \beta)$

Ймовірність того, що подія відбудеться у другому випадку, є , так що шанси на цю подію становлять .$p_2 = \frac{1}{1 + \exp(-X' \beta)}$$\frac{p_2}{1-p_2} = \exp(X' \beta) = \exp(X \beta + \beta_i)$

Отже, відношення шансів у другому випадку до шансів у першому випадку є . Звідси інтерпретація експоненціала параметра як коефіцієнта шансів.$\exp(\beta_i)$