Проблема Монті-Холла - де нас провалює інтуїція?

З Вікіпедії:

Припустимо, ви на ігровому шоу, і вам надається вибір трьох дверей: За одними дверима стоїть машина; позаду інших кози. Ви вибираєте двері, скажімо № 1, і господар, який знає, що за дверима, відкриває ще одну двері, скажімо, № 3, у якій є коза. Потім він каже вам: "Ви хочете вибрати двері №2?" Чи корисно вам переключити свій вибір?

Відповідь, звичайно, так - але це неймовірно неінститутивно. Які непорозуміння мають більшість людей щодо ймовірності, яка призводить до того, що ми чухаємо голову - а краще сказати; яке загальне правило ми можемо відібрати від цієї загадки, щоб краще тренувати свою інтуїцію в майбутньому?

Розглянемо дві прості варіанти проблеми:

1. Жодних дверей для учасника конкурсу не відкрито. Господар не пропонує допомоги в підборі дверей. У цьому випадку очевидно, що шанси на вибір правильних дверей становлять 1/3.
2. Перед тим, як учасника попросять задуматися здогадуватися, господар відкриває двері та відкриває козла. Після того, як господар виявить козу, учасник повинен забрати машину з двох залишилися дверей. У цьому випадку очевидно, що шанс підбору правильної двері становить 1/2.

Щоб учасник змагань знав вірогідність того, що вибір його двері є правильним, він повинен знати, скільки позитивних результатів у нього є, і розділити це число на кількість можливих результатів. Через два простих випадки, викладені вище, цілком природно думати про всі можливі результати, як кількість дверей на вибір, а кількість позитивних результатів як кількість дверей, які приховують автомобіль. З огляду на це інтуїтивне припущення, навіть якщо господар відкриває двері, щоб виявити козу після того, як учасник здогадається, вірогідність того, що двері, що містять машину, залишаються 1/2.

Насправді ймовірність визнає набір можливих результатів, більший, ніж три двері, і він визнає набір позитивних результатів, який більший, ніж сингулярні двері з автомобілем. При правильному аналізі проблеми ведучий надає учаснику конкурсу нову інформацію, ставлячи нове запитання, яке потрібно вирішити: яка ймовірність того, що мої початкові здогадки такі, що нова інформація, надана хостом, достатня для того, щоб повідомити мене про правильну двері? Відповідаючи на це питання, набір позитивних результатів та набір можливих результатів - це не відчутні двері та машини, а абстрактні композиції козлів та машин. Три можливі результати - це три можливі домовленості двох козлів та однієї машини за трьома дверима. Два позитивних результату - це два можливі домовленості, коли перша здогадка учасника конкурсу помилкова. У кожній з цих двох домовленостей інформація, надана господарем (одна з двох решти дверей порожня) є достатньою для того, щоб учасник міг визначити двері, які приховує автомобіль.

Підсумовуючи:

У нас є тенденція шукати просте відображення між фізичними проявами нашого вибору (двері та машини) та кількістю можливих результатів та бажаних результатів у питаннях вірогідності. Це прекрасно спрацьовує у випадках, коли учаснику не надається нова інформація. Однак якщо учаснику надано більше інформації (наприклад, одна з дверей, яку ви не вибрали, звичайно не автомобіль), це відображення руйнується, і правильне питання, яке потрібно задати, виявляється більш абстрактним.

Я вважаю, що люди вважають рішення більш інтуїтивним, якщо змінити його на 100 дверей, закрити перше, друге, 98 двері. Аналогічно для 50 дверей тощо.

Щоб відповісти на початкове запитання : Наша інтуїція не вдається через розповідь. Пов’язавши історію в тому ж порядку, що і телевізійний сценарій, ми плутаємось. Набагато легше стає, якщо заздалегідь подумати про те, що станеться. Майстер вікторини розкриє козла, тому найкращий наш шанс - вибрати двері з козою, а потім переключитися. Сюжетна лінія робить великий акцент на втраті, спричиненій нашою дією, у тому, що ми маємо третій шанс, що ми виберемо автомобіль.

Оригінальна відповідь:

Наша мета - знищити обох козлів. Ми робимо це, позначаючи одну козу самі. Потім вікторина змушена вибирати між розкриттям автомобіля чи іншим козлом. Розкрити машину не підлягає сумніву, тож вікторина виявить та усуне того коза, про якого ми не знали. Потім ми переходимо на двері, що залишилися, тим самим усуваючи козу, яку ми позначили першим вибором, і отримуємо машину.

Ця стратегія провалюється лише в тому випадку, якщо ми не позначимо козу, а замість неї машину. Але це малоймовірно: є два кози та лише одна машина.

Тож у нас є шанс 2 на 3 виграти машину.

Відповідь не: "звичайно ТАК!" Правильна відповідь: "Я не знаю, чи можете ви бути більш конкретними?"

Єдина причина, чому ви вважаєте це правильним, це тому, що так сказав Марлій Вос Савант. Її оригінальна відповідь на питання (хоча це питання було широко відомо до неї) з’явилося в журналі «Парад» 9 вересня 1990 року . вона написала, що "правильною" відповіддю на це питання було переключення дверей, оскільки перемикання дверей дало вам більшу ймовірність виграти автомобіль (2/3 замість 1/3). Вона отримала багато відповідей від кандидатів наук з математики та інших розумних людей, які сказали, що вона помиляється (хоча багато з них теж були невірними).

Припустимо, ви перебуваєте на ігровому шоу, і вам надається вибір трьох дверей. За одними дверима стоїть машина, за іншими - кози. Ви вибираєте двері, скажімо, №1, і господар, який знає, що за дверима, відкриває ще одну двері, скажімо, №3 , у якій є коза. Він каже вам: "Ви хочете вибрати двері №2?" Чи корисно вам перемикати вибір дверей? - Крейг Ф. Уітакер Колумбія, Меріленд

Я підкреслив важливу частину цього логічного питання. У цьому твердженні неоднозначне:

Чи завжди Монті Холл відкриває двері? (Що б вам було корисно перемикати двері, якби він відкрив програючі двері лише тоді, коли ви вибрали двері, що виграли? Відповідь : Ні)

Чи завжди Монті Холл відкриває програшні двері? (Питання вказує , що він знає , де автомобіль, і це особливо час він показав козу за одним. Що б ваші шанси, якщо він випадково відкрив двері? Тобто Monty Fall питання або що робити , якщо іноді він вибирає , щоб показати перемогу двері .)

Чи завжди Монті Холл відкриває двері, яких ви не вибрали?

Основи цієї логічної головоломки повторювались не раз, і багато разів вони недостатньо вказані, щоб дати "правильну" відповідь 2/3.

Продавець каже, що у неї є два нових гончаки для дитини, але вона не знає, чоловіки, жінки чи пара. Ти кажеш їй, що хочеш лише чоловіка, і вона телефонує тому, хто їх купає. "Це хоча б один самець?" вона запитує його. "Так!" вона повідомляє вас усмішкою. Яка ймовірність того, що інший - самець? - Стівен І. Геллер, Пасадена, Каліфорнія

Чи поглянув хлопець на обох собак, перш ніж відповів "Так", чи підхопив випадкового собаку і виявив, що це самець, а потім відповів "Так".

Скажіть, що у жінки і чоловіка (які не пов'язані між собою) двоє дітей. Ми знаємо, що принаймні один із дітей жінки - хлопчик і що найстарша дитина чоловіка - хлопчик. Чи можете ви пояснити, чому шанси на те, що у жінки є два хлопчики, не рівні шанси, що у чоловіка є два хлопчики? Моя вчителька алгебри наполягає на тому, що більша ймовірність того, що у чоловіка є два хлопчики, але я думаю, шанси можуть бути однаковими. Як ти гадаєш?

Як ми можемо знати, що у жінки є хоча б один хлопчик? Ми один день зазирнули через паркан і побачили одну з них? ( Відповідь: 50%, те саме, що і людина )

Питання навіть зав'язало нашого власного Джеффа Етвуда . Він поставив це питання :

Скажімо, гіпотетично кажучи, ви зустріли когось, хто сказав вам, що у них двоє дітей, а одна з них - дівчинка. Які шанси на те, що у людини є хлопчик і дівчинка?

Джефф продовжує стверджувати, що це було просте запитання, його задавали простою мовою і відхиляли заперечення деяких, які кажуть, що питання неправильно сформульовано, якщо ви хочете, щоб відповідь була 2/3.

Що ще важливіше, чому жінка надала цю інформацію. Якщо вона говорила так, як це роблять звичайні люди, коли хтось каже "одна з них дівчина", неминуче інший - хлопчик. Якщо ми припустимо, що це логічне запитання, з наміром відключити нас, нам слід попросити, щоб питання було більш чітко визначеним. Чи жінка добровільно подала секс одного з своїх дітей, випадково вибраного, чи вона говорить про набір двох своїх дітей.

Зрозуміло, що питання недостатньо сформульоване, але люди цього не усвідомлюють. Коли задаються подібні запитання, де шанси переключитись набагато більше, люди або розуміють, що це повинен бути трюк (і ставлять під сумнів мотив господаря), або отримують "правильну" відповідь про перемикання, як у питанні ста дверей . Це також підтверджується тим, що лікарі, коли їх запитують про ймовірність того, що жінка має певне захворювання після тестування на позитивне (їм потрібно визначити, чи є у неї захворювання, чи це помилковий позитив), вони краще приїжджають до правильна відповідь, залежно від того, як поставлено запитання. Існує чудова TED Talk, яка на півдорозі висвітлює саме цей випадок.

Він описав ймовірності, пов’язані з тестом на рак молочної залози: 1% перевірених жінок мають захворювання, а тест на 90 відсотків точний, з 9% хибнопозитивною оцінкою. З усією цією інформацією, що ви говорите жінці, яка позитивно оцінює ймовірність захворювання у них?

Якщо це допомагає, ось те саме питання, сформульоване іншим способом:

У 100 з 10 000 жінок у віці сорока, які беруть участь у рутинному скринінгу, є рак молочної залози. 90 з кожних 100 жінок, хворих на рак молочної залози, отримають позитивну мамографію. 891 з 9 900 жінок без раку молочної залози також отримають позитивну мамографію. Якщо 10 000 жінок цієї вікової групи проходять плановий скринінг, то який відсоток жінок із позитивними мамографіями насправді буде мати рак молочної залози?

Я змінив би те, що сказав Грем Куксон. Я думаю, що дійсно важлива річ, яку люди не помічають - це не перший вибір, а вибір господаря та припущення, що господар переконався не розкрити машину.

Насправді, коли я обговорюю цю проблему на уроці, я частково представляю її як тематичне дослідження, щоб зрозуміти ваші припущення. Для вашої переваги перемикатися, якщо господар переконається лише виявити козу . З іншого боку, якщо господар вибрав випадковим чином між дверима 2 та 3, а випадково виявив козу, то переваги для перемикання немає.

(Звичайно, практичний результат полягає в тому, що якщо ви не знаєте стратегії хоста, все одно слід переключитися.)

Це не дає загального правила, але я думаю, що одна з причин, чому це складна головоломка, полягає в тому, що наша інтуїція не справляється з умовною ймовірністю дуже добре. Існує безліч інших головоломок, які грають за тим самим явищем . Оскільки я посилаюся на свій блог, ось допис спеціально на Monty Hall .

Я погоджуюся, що студентам ця проблема є дуже складною. Типова відповідь, яку я отримую - це те, що після того, як вам показали козу, є шанс 50:50 отримати машину, чому це важливо? Студенти, здається, розлучаються зі своїм першим вибором від рішення, яке їм зараз пропонують, тобто вони вважають ці дві дії незалежними. Потім я їм нагадую, що вони вдвічі частіше вибрали неправильну двері, отже, чому вони краще перемикаються.

В останні роки я почав насправді грати в скло, і це допомагає студентам зрозуміти проблему набагато краще. Я використовую три картонні туалетні рулони "середні", а в двох з них - скріпки для паперу, а в третьому - банкнота в розмірі 5 фунтів.

Я вважаю, що це швидше питання логіки, ніж труднощі з імовірністю, що робить рішення Monty Hall несподіваним. Розглянемо наступний опис проблеми.

Ви вирішите вдома, перед тим, як виходити на телешоу, чи збираєтесь ви перемикати двері чи дотримуватися свого першого вибору, що б не трапилось під час шоу. Тобто ви вибираєте між стратегіями "Залишайтеся" або "Перемикайтеся" перед грою. У цьому виборі стратегії немає невизначеності. В даний час немає потреби вводити ймовірності.

Давайте розберемось у відмінності між двома стратегіями. Знову ж таки, ми не будемо говорити про ймовірності.

Відповідно до стратегії "Залишайтесь", ви виграєте, якщо і лише тоді, якщо ваш перший вибір - "хороші" двері. З іншого боку, в рамках стратегії "Switch" ви виграєте, якщо і тільки тоді, якщо ваш перший вибір - це "погані" двері. Будь ласка, подумайте над цими двома справами хвилину, особливо другу. Знову зауважте, що ми ще не говорили про ймовірності. Це лише питання логіки.

$1/3$$1/3$$2/3$

PS У 1990 році професор Ларрі Дененберг надіслав листа ведучому телешоу Монті Холл з проханням дозволити використовувати в книзі його ім'я в описі добре відомої проблеми трьох дверей.

Ось зображення частини відповіді Монті на цей лист, де ми можемо прочитати:

"Як я бачу, це не матиме жодних значень після того, як гравець вибрав" Двері А "і показав" Двері С "- навіщо йому потім намагатися перейти на" Двері Б "?"

Тому ми можемо сміливо зробити висновок, що Монти Холл (сама людина) не зрозумів проблему Монті Холл!

Не потрібно знати про умовну ймовірність чи теорему Байєса, щоб зрозуміти, що найкраще переключити свою відповідь.

Припустимо, ви спочатку виберете «Двері 1.». Тоді ймовірність перемоги «Двері 1» - 1/3, а перемога «Двері 2» або «3» - 2/3. Якщо за вибором господаря двері 2 виявляються програлими, то ймовірність того, що 2 або 3 є переможцем, все ще залишається 2/3. Але оскільки двері 2 - програв, двері 3 повинні мати 2/3 ймовірності бути переможцем.

Урок? Переформулюйте питання та шукайте стратегію, а не дивлячись на ситуацію. Поверніть річ на голову, працюйте назад ...

Люди взагалі погано працюють випадково. Тварини зазвичай проходять краще, як тільки вони виявляють, що або А, або В дають більшу виплату в середньому ; вони дотримуються вибору з кращим середнім показником. (довідник не готовий - вибачте.)

Перше, що люди спокушаються зробити, дивлячись розподіл 80/20, - це поширити свій вибір відповідно до виплат: 80% на кращий вибір та 20% на інший. Це призведе до виплати в розмірі 68%.

Знову ж, існує дійсний сценарій, коли люди можуть обрати таку стратегію: Якщо шанси зміняться з часом, є вагома причина відправити зонд і спробувати вибір з меншими шансами на успіх.

Важлива частина математичної статистики фактично вивчає поведінку процесів, щоб визначити , випадкові вони чи ні.

Я думаю, що відбувається кілька речей.

Для одного, налаштування передбачає більше інформації, ніж рішення враховується. Що це ігрове шоу, і господар запитує нас, чи хочемо ми переключитися.

Якщо ви припускаєте, що ведучий не хоче, щоб шоу витрачало зайві гроші (що розумно), тоді ви припускаєте, що він спробує переконати вас змінитись, якщо у вас є правильні двері.

Це здоровий глузд, як дивитися на проблему, яка може бентежити людей, проте я думаю, що головне питання - це не розуміння того, наскільки новий вибір відрізняється від першого (що більш зрозуміло у випадку зі 100 дверима).

Я цитую цю чудову статтю про меншу помилку:

Можливі гіпотези - «Автомобіль у дверях 1», «Автомобіль у дверях 2» та «Автомобіль у дверях» 3; перед початком гри, немає підстав вважати, що будь-яка з трьох дверей є більшою ймовірністю, ніж інші, щоб містити машину, і тому кожна з цих гіпотез має попередню ймовірність 1/3.

Гра починається з нашої підбірки дверей. Це само не є доказом того, де знаходиться машина, звичайно - ми припускаємо, що у нас немає конкретної інформації про це, крім того, що вона знаходиться за однією з дверей (у цьому вся суть гри!). Однак, коли ми це зробимо, у нас тоді буде можливість "провести тест", щоб отримати деякі "експериментальні дані": господар виконає своє завдання відкрити двері, які гарантовано містять козу. Ми представимо результат Хост відкриває двері 1 трикутником, результат Хост відкриває двері 2 квадратом, а результат Хост відкриває двері 3 п’ятикутником - таким чином чітко розробивши простір своєї гіпотези на такі можливості, як "Автомобіль в Двері 1 і Хост відкриває двері 2 "," Автомобіль в Двері 1 і Хост відкриває двері 3 "тощо:

Перш ніж ми здійснили свій первісний вибір дверей, господар з однаковою ймовірністю відкриє будь-які двері, що містять козлів. Таким чином, на початку гри вірогідність кожної гіпотези форми "Автомобіль у двері X і господар відкриває двері Y" має ймовірність 1/6, як показано. Все йде нормально; все ще цілком правильно.

Тепер вибираємо двері; скажімо, ми обираємо Двері 2. Потім господар відкриває або Двері 1, або Двері 3, щоб виявити козла. Припустимо, він відкриває двері 1; наша схема тепер виглядає так:

Але це показує однакові ймовірності того, що автомобіль буде відставати від дверей 2 та дверей 3!

Ви вловили помилку?

Там ви йдете, ось як ваша інтуїція підводить вас.

Перевірте правильне рішення у повній статті . Це включає :

• Пояснення теореми Байєса
• Неправильний підхід до Монті-Холл
• Правильний підхід до Монті-Холл
• Більше проблем ...

На мій досвід, це той факт, що люди не перескакують автоматично від слів до математики. Зазвичай, коли я вперше представляю це, люди розуміють це неправильно. Однак я виймаю колоду з 52 карт і даю їм вибрати одну. Потім я розкриваю п'ятдесят карток і запитую їх, чи хочуть вони переключитися. Більшість людей потім це отримує. Вони інтуїтивно знають, що вони, ймовірно, отримали неправильну карту, коли їх 52, і коли вони бачать, що п’ятдесят із них перевернуті, рішення досить просте. Я не думаю, що це настільки парадокс, як тенденція відключати розум у математичних проблемах.