Проблема оптимізації

Мій друг продає моделей блендерів. Деякі з блендерів дуже прості та дешеві, інші - дуже складні та дорожчі. Його дані складаються з розрахунку на кожен місяць із цін кожного блендера (які фіксуються ним) та кількості проданих одиниць для кожної моделі. Щоб встановити якусь позначення, він знає місяцями векторами де - ціна моделі блендера протягом місяця , а - кількість проданих одиниць моделі блендера за місяць . $k$ $j=1,\dots,n$

(p_{1 j}, \dots, p_{k j}) and (n_{1 j}, \dots, n_{k j}),

$(p_{1j},\dots,p_{kj}) \qquad \textrm{and} \qquad (n_{1j},\dots,n_{kj}) \, ,$

p_{i j}

$p_{ij}$

i

$i$

j

$j$

n_{i j}

$n_{ij}$

i

$i$

j

$j$

З огляду на дані, він хоче визначити ціни $(p^*_1,\dots,p^*_k)$ які максимізують значення його очікуваних майбутніх продажів.

У мене є деякі ідеї, як почати моделювати цю проблему за допомогою якоїсь регресії Пуассона, але я дійсно не хочу винаходити колесо. Також було б непогано довести, що бажаний максимум існує за певних умов. Хтось, будь ласка, дасть мені вказівки на літературу такого роду проблем?

optimization

— Дзен
джерело

Мені дуже хотілося б почути обґрунтування цього питання в цьому питанні! Єдиною можливістю, яку я зараз можу собі уявити, є те, що було певне занепокоєння щодо того, якою може бути статистична природа цього питання. Однак мені здається зрозумілим, що є статистична складова, враховуючи, що дані про продажі можна розглядати як випадкові підрахунки від деякого базового розподілу. Я вважаю, що може допомогти редакція, яка дещо чіткіше підкреслює це. Але, мої коментарі тут досить спекулятивні. (+1)

— кардинал

Ткс, кардинал. Я відредагую його протягом наступних кількох днів і додаю інформацію, яка роз'яснить аспекти висновку рішення.

— Дзен

Припустимо, є функція яка приймає ціни всіх блендерів і повертає кількість продажів, . Тоді проблема полягає в наступному: $f(\cdot)$ $\vec{p}$ $k$ $\vec{n}$

\underset{\vec{p}}{\arg max} {\vec{p}}^{T} f (\vec{p})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max}\;\; \vec{p}^T f(\vec{p})$

Вирішення цієї проблеми буде залежати від припущень, які ви хочете зробити. Я б пішов із найпростішою моделлю, яка мені спадає на думку. Припустимо, що кількість продажів блендера залежить лише від його власної ціни, а не від інших цін. Тобто кількість продажів кожного блендера незалежна. Це припущення дозволяє розбити векторну функцію на скалярні функції. У нас є , і проблема стає: $f(\cdot)$ $k$ $f_i:p \mapsto n,\;\;i=1,\dots,12$

\underset{\vec{p}}{\arg max} \sum_{i = 1}^{k} p_{i} f_{i} (p_{i})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max} \sum_{i=1}^k p_i f_i(p_i)$

Тепер ми маємо припустити модель для . Ми можемо знову спробувати просту (лінійну) форму: . Для кожного блендера ви можете оцінити параметри ( ) цієї функції, використовуючи історичні дані продажів. Після того, як вони оцінюються, оптимізація вищевказаної функції повинна бути однозначною і даватиме оптимальні ціни, які ви шукаєте. $f_i(\cdot)$ $f_i(p) = \alpha_i p + \beta_i$ $\alpha_i, \beta_i$

Як ви вже згадували у своєму дописі, ви також можете припустити модель Пуассона для . $f(\cdot)$

Те, що продажі блендерів є незалежними один від одного, ймовірно, є наївним припущенням (адже клієнти переглянуть багато блендерів, порівняють їх, а потім придбають один). Отже, я б пішов на вектор, що оцінюється і почав би лінійне моделювання. Оптимізація не повинна бути надто складною. $f(\cdot)$

— emrea
джерело