Як імітувати копулу Гаусса?

Припустимо, що у мене є два одноманітні граничні розподіли, скажімо, $F$ і $G$ , з яких я можу імітувати. Тепер побудуйте їх спільний розподіл за допомогою копули Гаусса , що позначається $C(F,G;\Sigma)$ . Всі параметри відомі.

Чи існує метод, що не MCMC для моделювання з цієї копули?

normal-distribution simulation copula

— Тіло
джерело

Припустимо, що

для

, звичайно: Створіть

. Візьміть

. Готово.

Σ_{i i} = 1

$\Sigma_{ii} = 1$

i = 1, 2

$i=1,2$

(X, Y) \sim N (0, Σ)

$(X,Y) \sim \mathcal N(0,\Sigma)$

F^{- 1} (Φ (X))

$F^{-1}(\Phi(X))$

G^{- 1} (Φ (Y))

$G^{-1}(\Phi(Y))$

— кардинал

R також має пакет під назвою "копула", який може імітувати більшість стандартних копул.

— напівблін

Існує дуже простий метод імітації копули Гаусса, який заснований на визначеннях багатофакторного нормального розподілу та копули Гаусса.

Почну з надання необхідного визначення та властивостей багатоваріантного нормального розподілу, за ним - копула Гаусса, а потім надам алгоритм моделювання з копули Гаусса.

Багатоваріантний нормальний розподіл
Випадковий вектор має багатоваріантний нормальний розподіл, якщо де - -вимірний вектор незалежних стандартних нормальних випадкових величин, - a -вимірний вектор констант, а - матриця констант. Позначення $X = (X_1, \ldots, X_d)'$

X \overset{d}{=} μ + A Z,

$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$

Z

$Z$

k

$k$

μ

$\mu$

d

$d$

A

$A$

d \times k

$d\times k$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ позначає рівність у розподілі. Отже, кожен компонент

є по суті зваженою сумою незалежних стандартних нормальних випадкових величин. З властивостей середніх векторів і матриць коваріації маємо

, причому

, що веде до природного позначення

X

$X$

E (X) = μ

${\rm E}(X) = \mu$

c o v (X) = Σ

${\rm cov}(X) = \Sigma$

Σ = A A^{'}

$\Sigma = AA'$

X \sim N_{d} (μ, Σ)

$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$

Гаусс копули Гаусс копули визначаються неявним чином з багатовимірного нормального розподілу, тобто, зв'язка Гаусс є копули пов'язаний з багатовимірним нормальним розподілом. Зокрема, з теореми Скляра копула Гаусса дорівнює де

C_{P} (u_{1}, \dots, u_{d}) = Φ_{P} (Φ^{- 1} (u_{1}), \dots, Φ^{- 1} (u_{d})),

$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$

Φ

$\Phi$ позначає стандартну функцію нормального розподілу, а

позначає багатоваріантну функцію нормального нормального розподілу з кореляційною матрицею P. Отже, копула Гаусса є просто стандартним багатоваріантним нормальним розподілом, де інтегральне перетворення ймовірності застосовується до кожного поля.

Φ_{P}

$\boldsymbol{\Phi}_P$

Алгоритм моделювання
З огляду на викладене, природним підходом до моделювання з копули Гаусса є моделювання багатоваріантного стандартного нормального розподілу з відповідною кореляційною матрицею та перетворення кожного поля за допомогою інтегрального перетворення ймовірності зі стандартною функцією нормального розподілу. У той час як моделювання багатоваріантного нормального розподілу за допомогою матриці коваріації по суті зводиться до зваженої суми незалежних стандартних нормальних випадкових величин, де "вагова" матриця може бути отримана шляхом розкладання Холеського матриці коваріації . $P$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$

Отже, алгоритм моделювання вибірок з копули Гаусса з кореляційною матрицею : $n$ $P$

Виконайте розбиття Холеського та встановіть як отриману нижню трикутну матрицю. $P$ $A$
Повторіть наступні кроки разів.
1. Створити вектор незалежних стандартних нормальних величин. $Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
2. Встановити $X = AZ$
3. $U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

Наступний код у прикладі реалізації цього алгоритму з використанням R:

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

На наступній діаграмі показані дані, отримані в результаті наведеного вище коду R.

введіть тут опис зображення

— QuantIbex
джерело

Де після цього з’являються F і G?

— lcrmorin

@Were_cat, що ти маєш на увазі?

— QuantIbex

В оригінальному питанні є згадка про F і G, два одновимірних розподілу. Як ви переходите від копул до rv з полями F і G?

— lcrmorin

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

(0, 1)

$(0, 1)$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

F

$F$

G

$G$

Y_{1} = F^{- 1} (U_{1})

$Y_1 = F^{-1}(U_1)$

Y_{2} = G^{- 1} (U_{2})

$Y_2 = G^{-1}(U_2)$

F^{- 1}

$F^{-1}$

G^{- 1}

$G^{-1}$

F

$F$

G

$G$

@Were_cat, щоб цитувати сторінку вікіпедії copula : "копула - це багатофакторний розподіл ймовірностей, для якого граничний розподіл ймовірності кожної змінної є рівномірним. Копули використовуються для опису залежності між випадковими змінними".

— QuantIbex