Приклади процесів, які не є Пуассоном?

Я шукаю кілька хороших прикладів ситуацій, які не підходять для моделювання з розподілом Пуассона, щоб допомогти мені пояснити розподіл Пуассона студентам.

Як правило, можна використовувати кількість клієнтів, які приходять до магазину за часовий проміжок, як приклад, який можна змоделювати за допомогою дистрибуції Пуассона. Я шукаю контрприклад у подібному ключі, тобто ситуацію, яку можна розглядати як процес позитивного підрахунку протягом постійного часу, який явно не є Пуассоном.

В ідеалі ситуація повинна бути максимально простою та зрозумілою, щоб студентам було легко зрозуміти та запам'ятати.

Кількість викурених сигарет за певний проміжок часу: для цього потрібен процес із завищенням нуля (наприклад, Пуассон із нулем або негативний двоманійний надутий), оскільки не всі курять цигарки.

Ви маєте на увазі позитивні дані підрахунку? Без обмежень?

Популярний негативний двочлен.

Ще однією хорошою моделлю є Пуассон із завищеною 0. Ця модель передбачає, що або щось відбувається, або його немає - і якщо воно є, то воно слідує за Пуассоном. Я недавно бачив приклад. Медсестер, які лікували хворих на СНІД, запитували, як часто вони відчувають стигматизуючу поведінку у інших внаслідок своєї участі у хворих на СНІД. Велика кількість ніколи не мала такого досвіду, можливо, через те, де вони працювали чи жили. Серед тих, хто це зробив, кількість стигматизуючих переживань варіювалась. Повідомлялося більше 0, ніж можна було очікувати від прямого Пуассона, в основному тому, що певна частка досліджуваної групи просто не знаходилася в оточенні, яке піддало їх такій поведінці.

Суміш Пуассона також дасть точковий процес.

Підрахунок процесів, які не є Пуассоном? Ну, будь-який процес кінцевого простору зразка, наприклад, двочленний або дискретний рівномірний. Ви отримуєте процес підрахунку Пуассона від підрахунку подій, що мають незалежні часи взаємозв'язку, які розподілені експоненціально, тому випадає ціла низка узагальнень, таких як гамма або логіка, або Вейбулл, що поширюються міжмісцевими часом, або будь-який абстрактний непараметричний час взаємозв'язку. розповсюдження.

Незрозуміло, хочете ви рахувати процеси чи ні.

Якщо я інтерпретую тег «викладання», маючи на увазі, що ви навчаєте процесу Пуассона, тоді для навчання про процес в цілому, процес Бернуллі - це легкий випадковий процес для пояснення та візуалізації і пов'язаний з процесом Пуассона. Процес Бернуллі є дискретним аналогом, тому він може стати корисною компаньйоном. Справа лише в тому, що замість безперервного часу ми маємо дискретні інтервали часу.

Прикладом може бути людина, що продає двері до дверей, де ми рахуємо успіхи будинків, які роблять покупку.

• Кількість успіхів у перших n випробуваннях має біноміальне
  розподіл B (n, p) замість Пуассона
• Кількість випробувань, необхідних для досягнення успіху r, має негативний біноміальний розподіл NB (r, p) замість гамма-розподілу
• Кількість випробувань, необхідних для досягнення одного успіху, час очікування, має геометричний розподіл NB (1, p), що є дискретним аналогом експоненції.

Ось такий підхід Берцекас і Цицикліс використовують у Введенні до ймовірності , 2-е видання, вводячи процес Бернуллі до процесу Пуассона. У їх підручнику є більше розширень на процес Бернуллі, застосовних до процесу Пуассона, таких як злиття їх або розділення їх, а також набори проблем з рішеннями.

Якщо ви шукаєте приклади випадкових процесів, і ви просто хочете викинути імена там, їх досить багато.

Процес Гаусса є важливим у застосуванні. Зокрема, процес Вайнера, який є типом Гауссового процесу, також називається стандартним броунівським рухом і має застосування у фінансах та фізиці.

Як актуарій власності / випадковості я маю справу з прикладами реального життя дискретних процесів, які весь час не є Пуассоном. Для високочастотних, низькочастотних ліній бізнесу розподіл Пуассона є невідповідним, оскільки він вимагає співвідношення відхилення до середнього значення 1. Від'ємний біноміальний розподіл, згаданий вище, набагато частіше використовується, а розподіли Делапорте використовується в деяких літературах, хоча рідше в стандартній північноамериканській актуарній практиці.

Чому це так, питання більш глибоке. Чи настільки кращий від'ємний двочлен, тому що він являє собою процес Пуассона, для якого середній параметр розподіляється гаммою? Або це тому, що випадки втрат втрачають незалежність (оскільки події землетрусу роблять в сучасній теорії, що чим довше чекає, коли земля сповзатиме, тим більше шансів, що це пов’язано з накопиченням тиску), це нестаціонарно (інтервали не можна підрозділяти на послідовності, кожна з яких є стаціонарними, що дозволило б використовувати неоднорідний Пуассон), і, безумовно, деякі напрямки бізнесу дозволяють одночасно виникати (наприклад, медичні помилки з кількома лікарями, на які поширюється політика).

Інші згадали кілька прикладів точкового процесу, які не є Пуассоном. Оскільки Пуассон відповідає експоненціальним міжприбутковим часом, якщо ви вибираєте будь-який міжособистісний розподіл часу, який не є експоненціальним, то в результаті точковий процес не є Пуассоном. АдамО вказав на Вейбула. Ви можете використовувати гамму, лонормальний або бета-версію як можливий вибір.

Пуассон має властивість, що його середнє значення дорівнює його дисперсії. Точковий процес, який має відхилення більше середнього, іноді називають наддисперсним, і якщо середнє значення більше дисперсії, воно є недисперсним. Ці терміни використовуються для відновлення процесу до Пуассона. Негативний двочлен часто використовується, оскільки може бути передисперсним або недодисперсним залежно від його параметрів.

Пуассон має постійну дисперсію. Точковий процес, який відповідає умовам Пуассона, за винятком того, що він не має параметра постійної швидкості, і, отже, середнє значення та дисперсія, що змінюються за часом, називається неоднорідним Пуассоном.

Процес з експоненціальним часом взаємозв'язку, але може мати кілька подій на час прибуття, називається складним Пуассоном. Хоча подібний до процесу Пуассона і має назву зі словом Пуассон в ньому, неоднорідні та складні процеси Пуассона відрізняються від процесу Пуассона.

Ще один цікавий приклад процесу підрахунку Поассона представлений нульовим розподілом Пуассона (ZTPD). ZTPD може вміщувати дані щодо кількості мов, які суб'єкти можуть говорити у фізіологічних умовах. У цьому випадку розповсюдження Пуассона погано поводиться, оскільки кількість розмовних мов за визначенням> = 1: отже, 0 виключається апріорі.

Я вважаю, що ви можете скористатися процесом Пуассона з приїздом клієнтів і налаштувати його двома різними способами: 1) кількість відвідувачів вимірюється цілодобово, але магазин фактично не працює цілий день; Пуассон обробляє часи прибуття клієнтів і дивіться різницю між приїздом у два магазини. (Приклад №2 - з мого розуміння Посібника Спрингера з інженерної статистики, частина A Властивість 1.4.)

Можливо, ви хочете переглянути футбольний приклад. Складається враження, що коефіцієнт підрахунку балів для обох команд збільшується по мірі продовження матчу, і що вони змінюються, коли команди змінюють свої атакуючі / захисні пріоритети у відповідь на поточний рахунок.

А точніше, скористайтеся ним як приклад того, як прості моделі можуть напрочуд добре працювати, стимулюючи інтерес до статистичного дослідження певного явища та надаючи орієнтир для майбутніх досліджень, які збирають більше даних для дослідження розбіжностей та пропонують розробки.

Dixon & Robinson (1998), "Модель процесу народження для футбольних матчів асоціацій", Статист , 47 , 3.

Оскільки питання пов'язане з тим, щоб зробити розподіл Пуассона більш зрозумілим, я підкажу це, оскільки нещодавно я розглядав цю схему вхідних викликів дещо для цього центру (де слідує час пам'яті без експонентного розподілу).

Я думаю, що заглиблюватися в іншу тангенціальну модель, яка по суті вимагає знань Пуассона, щоб зрозуміти, як це не одна, може бути дещо заплутаною, але це тільки я.

Я думаю, що проблема з розумінням Пуассона полягає в безперервній осі часу, на якій вона знаходиться --- як щосекундна триває, подія більше не відбудеться --- але чим далі в майбутньому ви йдете, тим впевненіше відбувається.

Дійсно, я думаю, що це спрощує розуміння, якщо ви просто торкаєте вісь "час" для "випробувань" або "подій".

Хтось може мене виправити, якщо це далеко від бази, тому що я вважаю, що це просте пояснення, але я думаю, що ви можете замінити фліп монети або викидання кістки на "час, поки не надійде телефонний дзвінок" (що я зазвичай використовують для персоналу Erlang C / кол-центр).

Замість "часу, поки не надійдуть телефонні дзвінки" ----, ви можете замінити його на ... "котиться, поки кістка не потрапить на шість".

Це випливає з тієї ж загальної логіки. Ймовірність (як і будь-яка гра в азартні ігри) є абсолютно незалежною від кожного ролика (або хвилини) і не має пам'яті. Однак вірогідність "немає 6" зменшується все повільніше, але точно до 0, оскільки ви збільшуєте кількість випробувань. Це простіше, якщо ви бачите обидва графіки (ймовірність дзвінка з часом, проти ймовірності шести з рулонами).

Я не знаю, чи це має сенс --- саме це допомогло мені скласти це в конкретні терміни. Тепер розподіл пуассона - це кількість, а не "час між дзвінками" або "випробування, поки не з'явиться шість", але вона покладається на цю ймовірність.

Кількість відвідувань окремим клієнтом продуктового магазину протягом заданого часового проміжку.

Після того, як ви завітали до продуктового магазину, ви навряд чи повернетесь на деякий час, якщо не помилитесь із плануванням.

Я думаю, що тут можна використовувати негативний біноміальний розподіл, але він дискретний, тоді як відвідування тривають постійно.