Як довести, що для ядра Гауссова RBF немає кінцевомірного простору?

Як довести, що для радіальної основи функція не існує конечномерное простір ознакНтакимщопротягом деякогоФ:Rп→Hми маємоK(х,у)=⟨Ф(х),Ф(у)⟩?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Мур-Ароншайн теорема гарантує , що симетрична позитивно певна ядро пов'язано з УНІКАЛЬНИЙ відтворює ядра гильбертова простору. (Зверніть увагу, що хоча RKHS є унікальним, саме відображення не є.)

Тому на ваше запитання можна відповісти, виставивши нескінченномірний RKHS, відповідний ядра Гаусса (або RBF). Ви можете знайти поглиблене вивчення цього розділу в "Явному описі відтворюючих просторів ядра Гільберта ядер Гаусса RBF ", Steinwart та ін.

Припустимо, що ядро ​​Gaussian RBF $k(x, y)$ визначається в домені $X \times X$ де $X$містить нескінченну кількість векторів. Можна довести ( Гауссові ядра, чому вони повного рангу? ), Що для будь-якого набору різних векторів$x_1, ..., x_m \in X$ матриця $(k(x_i, x_j))_{m \times m}$ не є одниною, це означає, що вектори $\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$лінійно незалежні. Таким чином, простір функцій$H$ для ядра $k$ не може мати кінцеву кількість розмірів.