Емпірична залежність між середньою, медіаною та модою

Для унімодального розподілу, який помірно перекошений, ми маємо таку емпіричну залежність між середньою, медіаною та модою: Яким чином були виведені ці відносини?

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

Чи побудував Карл Пірсон тисячі цих відносин, перш ніж сформувати цей висновок, чи існує логічна лінія аргументації цього взаємозв'язку?

Позначимо середнє значення ( ≠ середнє), m медіану, σ стандартне відхилення і M - режим. Нарешті, нехай X - зразок, реалізація безперервного одномодального розподілу F, для якого існують перші два моменти.$\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

Це добре відомо

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

Це часті вправи підручника:

Перша рівність випливає з визначення середнього значення, третя виникає тому, що медіана є унікальним мінімізатором (серед усіхc's)E| X-c| четверте - від нерівності Дженсена (тобто визначення опуклої функції). Насправді цю нерівність можна зробити більш жорсткою. Справді, для будь-якогоF, що задовольняє наведеним вище умовам, можна показати [3], що

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ $c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

Незважаючи на те, що взагалі не вірно ( Abadir, 2005 ), що будь-який унімодальний розподіл повинен задовольняти або одному з все одно можна показати, що нерівність

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

справедливо для будь-якого одномодного, квадратного інтегрального розподілу (незалежно від перекосу). Це формально доведено в Johnson and Rogers (1951), хоча доказ залежить від багатьох допоміжних лем, які важко вмістити тут. Подивіться оригінал паперу.

---

$F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

$\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

$(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [0]: Моментальна проблема для унімодальних розподілів. Н.Л. Джонсон та Каліфорнія Роджерс. Аннали математичної статистики, т. 22, № 3 (верес., 1951), стор 433-439
• [1]: Середня середня нерівність режиму: контрприклади Економетрична теорія Каріма М. Абадіра, т. 21, № 2 (квітня, 2005), стор 477-482
• [2]: WR van Zwet, Середня, медіана, II режим, Статистика. Neerlandica, 33 (1979), стор 1--5.
• [3]: Середнє, медіанне та спосіб одномодульних розподілів: характеристика. С. Басу та А. ДасГупта (1997). Теорія ймовірність. Додаток, 41 (2), 210–223.
• [4]: Деякі зауваження щодо середнього, медіанного, режиму та нахиленості. Мічікадзу Сато. Австралійський журнал статистики. Том 39, випуск 2, сторінки 219–224, червень 1997 року
• [5]: PT von Hippel (2005). Середній, медіанський і скажений: виправлення правила підручника. Журнал статистичної освіти Том 13, №2.

У статті chl вказується на деяку важливу інформацію - показуючи, що це не близько до загального правила (навіть для безперервних, плавних змінних, «добре поводилися», як Weibull). Тож, хоча це часто може бути приблизно правдою, часто це не так.

То звідки береться Пірсон? Як він дійшов до цього наближення?

На щастя, Пірсон в значній мірі підказує нам відповідь.

Перше вживання терміна "перекос" у тому сенсі, який ми вживаємо, здається, Пірсон, 1895 р. [1] (він з'являється прямо у назві). Цей документ також описується там, де він вводить терміновий режим (виноска, стор. 45):

Мені зручно використовувати термін режим для абсцис, що відповідає ординаті максимальної частоти. "Середній", "режим" і "медіана" мають всі чіткі символи, важливі для статистики.

Це також є його першим реальним деталізацією системи частотних кривих .

Отже, обговорюючи оцінку параметра фігури в розподілі Pearson Type III (те, що ми зараз би називали зрушеною - і, можливо, перевернутою - гаммою), він говорить (p375):

$p$$^\dagger$

$>1$

$\dagger$$x$

І дійсно, якщо ми подивимось на співвідношення (середній режим) до (середній-середній) для розподілу гамми, ми спостерігаємо це:

(Синя частина позначає область Пірсон говорить, що наближення розумне).

$\alpha$$\beta$

$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$$e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$$\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$$\sigma^2$$\frac{3}{2}\sigma^2$$\frac{1}{2}\sigma^2$$\sigma^2$

Існує досить багато добре відомих розподілів - кілька з яких був відомий Пірсону - для яких це близьке до правдивого для широкого діапазону значень параметрів; він помітив це при розповсюдженні гамми, але мав би підтвердити цю ідею, коли прийшов переглянути декілька інших дистрибутивів, які він, швидше за все, міркував би.

[1]: Пірсон, К. (1895),
"Внески до математичної теорії еволюції, II:
Зміщення перекиду в однорідному матеріалі", " Філософські трансакції Королівського товариства", серія A, 186, 343-414
[Поза авторським правом. Доступно тут ]

Ці відносини не виводилися. Було помічено, що приблизно емпірично тримаються майже симетричні розподіли . Дивіться виклад Юля у Вступі до теорії статистики (1922), стор.111, глава VII Розділ 20. Він подає емпіричний приклад.