Чи спростувала Дебора Майо доказ Бірнбаума щодо принципу ймовірності?

Це дещо пов'язане з моїм попереднім запитанням тут: Приклад, коли принцип ймовірності * насправді має значення?

Мабуть, Дебора Майо опублікувала документ у статистичній науці, в якому спростувала доказ Бірнбаума принципу ймовірності. Чи може хто-небудь пояснити головний аргумент Бірнбаума та контр-аргумент Майо? Чи правильно вона (логічно)?

Коротше кажучи, аргумент Бірнбаума полягає в тому, що два широко прийняті принципи логічно означають, що принцип правдоподібності повинен дотримуватися. Контр аргумент Майо полягає в тому, що доказ помиляється, оскільки Бірнбаум зловживає одним із принципів.

Нижче я спрощую аргументи настільки, що вони не дуже жорсткі. Моє призначення - зробити їх доступними для широкої аудиторії, оскільки оригінальні аргументи дуже технічні. Зацікавлені читачі повинні побачити деталі у статтях, пов’язаних із запитанням та у коментарях.

Для конкретності я зупинюсь на справі монети з невідомим ухилом . В експерименті ми гортаємо 10 разів. В експерименті ми гортаємо його, поки не отримаємо 3 "хвости". В експерименті ми перевертаємо справедливу монету з позначкою "1" і "2": якщо вона розташована на "1", ми виконуємо ; якщо він знаходиться на "2", ми виконуємо . Цей приклад значно спростить дискусію та покаже логіку аргументів (оригінальні докази, звичайно, більш загальні).$\theta$$E_1$$E_2$$E_{mix}$$E_1$$E_2$

Принципи:

Наступні два принципи широко прийняті:

Принцип слабкої обумовленості говорить про те, що ми повинні робити ті самі висновки, якщо ми вирішимо провести експеримент , або якщо вирішимо виконати і монета "1".$E_1$$E_{mix}$

Принцип достатності говорить, що ми повинні робити однакові висновки в двох експериментах, коли достатня статистика має однакове значення.

Наступний принцип прийнятий байесовским, але не часто. І все-таки Бірнбаум стверджує, що це логічний наслідок перших двох.

Принцип ймовірності говорить, що ми повинні робити однакові висновки у двох експериментах, де ймовірнісні функції пропорційні.

Теорема Бірнбаума:

Скажімо, ми виконуємо і отримуємо 7 "голів" з десяти фліп. Імовірність функції дорівнює . Виконуємо і перевертаємо монету 10 разів, щоб отримати 3 «хвости». Імовірність функції дорівнює . Дві функції ймовірності пропорційні.$E_1$$\theta$${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$$E_2$$\theta$${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$

Бірнбаум розглядає наступну статистику на від до : де і - числа "голови" та "хвости" відповідно. Отже, незалежно від того, що трапиться, повідомляє про результат так, ніби він був результатом експерименту . Виявляється, достатньо для в . Єдиний випадок, який нетривіальний, це коли і , де маємо$E_{mix}$$\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$$\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$

$$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$$ $x$$y$$T$$E_1$$T$$\theta$$E_{mix}$$x = 7$$y = 3$

$$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$$ Усі інші випадки дорівнюють 0 або 1 - за винятком , що є доповненням вищевказаної ймовірності. Розподіл даного не залежить від , тому є достатньою статистикою для .$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$$X_{mix}$$T$$\theta$$T$$\theta$

Тепер, згідно з принципом достатності, ми повинні зробити висновок того ж для і в , а з принципу слабкої умовності ми повинні зробити те саме для в і в , а також для в і в . Тож наш висновок повинен бути однаковим у всіх випадках, що є принципом ймовірності.$(1,x,y)$$(2,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$$E_1$$(1,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$$E_2$$(2,x,y)$$E_{mix}$

Контрдоказ:

Установка Бірнбаума не є експериментом із сумішами, оскільки результату монети з позначкою "1" та "2" не дотримувалося , тому принцип слабкої умовності не поширюється на цей випадок .

Візьміть тест проти і зробіть висновок з p-значення тесту. В якості попереднього спостереження зауважимо, що значення р в задається біноміальним розподілом приблизно ; p-значення в задається від'ємним розподілом біномів як приблизно .$\theta = 0.5$$\theta > 0.5$$(7,3)$$E_1$$0.1719$$(7,3)$$E_2$$0.0898$

Ось важлива частина: р-значення в задається як середнє значення двох - пам’ятайте, ми не знаємо статус монети - тобто приблизно . Тим не менш, р-значення в - там, де спостерігається монета, - те саме, що і в , тобто приблизно . Принцип слабкої умовності дотримується (висновок такий самий як в і в де монета знаходиться "1"), і все ж принцип ймовірності не відповідає. Контрприклад спростовує теорему Бірнбаума.$T=(1,7,3)$$E_{mix}$ 0,1309 ( 1 , 7 , 3 )$0.1309$$(1,7,3)$$E_{mix}$$E_1$ 0,1719 E 1 E m i x$0.1719$$E_1$$E_{mix}$

Спростування Пенья та Бергера про протидоказ Майо:

Майо неявно змінила твердження про принцип достатності: вона інтерпретує "ті самі висновки" як "той самий метод". Прийняття р-значення - це метод висновку, але не висновок.

Принцип достатності говорить про те, що якщо існує достатня статистика, то висновки повинні бути однаковими, але він взагалі не вимагає достатньої статистики. Якщо це станеться, це призвело б до суперечності, як це демонстрував Майо.