Як математично визначається причинно-наслідковий зв’язок?

Яке математичне визначення причинно-наслідкового зв’язку між двома випадковими змінними?

З огляду на вибірку із спільного розподілу двох випадкових величин і , коли ми говоримо, що викликає Y ?$X$$Y$$X$$Y$

З контексту я читаю цей документ про причинно-наслідкове виявлення .

Яке математичне визначення причинно-наслідкового зв’язку між двома випадковими змінними?

Математично причинно-наслідкова модель складається з функціональних зв'язків між змінними. Наприклад, розглянемо систему структурних рівнянь нижче:

Це означає, що функціонально визначає значення (якщо ви втручаєтесь у це змінює значення ), але не навпаки. Графічно це зазвичай представлено , що означає, що входить в структурне рівняння y. Як додаток, ви також можете висловити причинно-наслідкову модель з точки зору спільного розподілу контрфактичних змінних, що математично еквівалентно функціональним моделям .$x$$y$$x$$y$$x \rightarrow y$$x$

З огляду на вибірку із спільного розподілу двох випадкових величин X і Y, коли ми говоримо, що X викликає Y?

Іноді (або в більшості випадків) у вас немає знань про форму структурних рівнянь ,$f_{x}$$f_y$ x→yy→xp(y,x) , навіть навіть про те, чи чи . Єдина інформація, яку ви маєте, - це спільний розподіл ймовірностей (або вибірки з цього розподілу).$x\rightarrow y$$y \rightarrow x$$p(y,x)$

Це призводить до вашого запитання: коли я можу відновити напрямок причинності лише з даних? Або, точніше, коли я можу відновити, чи входить у структурне рівняння або навпаки, лише з даних?$x$$y$

Звичайно, без принципово непереборних припущень щодо причинно-наслідкової моделі це неможливо . Проблема полягає в тому, що кілька різних причинно-наслідкових моделей можуть спричинити за собою однаковий спільний розподіл ймовірностей спостережуваних змінних. Найпоширеніший приклад - причинно-наслідкова лінійна система з гаусовим шумом.

Але за деякими причинно-наслідковими припущеннями, це може бути можливим --- і саме на це працює література з причинного виявлення. Якщо у вас немає попереднього викриття цієї теми, ви можете почати з « Елементів причинного висновку » Петерса, Джанзінга та Шолкопфа, а також з глави 2 «Причинності » Юдеї Перл. У нас на темі CV є посилання на причинно-наслідкове виявлення , але у нас ще не так багато посилань.

Отже, на ваше запитання не існує лише однієї відповіді, оскільки це залежить від припущень, які ви робите. У роботі, яку ви згадуєте, наводяться деякі приклади, такі як припущення лінійної моделі з неаусовим шумом. Цей випадок відомий як ЛІНГАН (скорочення для лінійної не-гауссової ациклічної моделі), ось приклад у R:

library(pcalg)
set.seed(1234)
n <- 500
eps1 <- sign(rnorm(n)) * sqrt(abs(rnorm(n)))
eps2 <- runif(n) - 0.5
x2 <- 3 + eps2
x1 <- 0.9*x2 + 7 + eps1

# runs lingam
X <- cbind(x1, x2)
res <- lingam(X)
as(res, "amat") 

# Adjacency Matrix 'amat' (2 x 2) of type ‘pag’:
#     [,1]  [,2]
# [1,] .     .   
# [2,]  TRUE .     

Зверніть увагу, у нас є лінійна причинно-наслідкова модель з неаууссовим шумом, де викликає а lingam правильно відновлює причинний напрямок. Однак зауважте, що це критично залежить від припущень LINGAM.$x_2$$x_1$

Що стосується цитованої вами статті, вони роблять це конкретне припущення (див. Їх "постулат"):

Якщо , то мінімальна довжина опису механізму, що відображає X на Y, не залежить від значення X, тоді як мінімальна довжина опису механізму, що відображає Y на X, залежить від значення Y.$x\rightarrow y$

Зауважте, це припущення. Це ми називали б їх "умовою ідентифікації". По суті, постулат встановлює обмеження на спільний розподіл . Тобто, в постулаті сказано, що якщо у даних є певні обмеження, а якщо інші обмеження, дотримуються. Ці типи обмежень, які мають тестові наслідки (накладають обмеження на ), - це те, що дозволяє напряму відновити дані спостережень.$p(x,y)$$x \rightarrow y$$y \rightarrow x$$p(y,x)$

На завершення, результати причинного виявлення все ще дуже обмежені і залежать від вагомих припущень. Будьте уважні, застосовуючи їх у реальному контексті.

Існує різноманітний підхід до формалізації причинності (що відповідає суттєвій філософській розбіжності щодо причинності, яка існувала століттями). Популярний - з точки зору потенційних результатів. Підхід потенційних результатів, який називається Рубіновою причинною моделлю , передбачає, що для кожного причинного стану речей існує різна випадкова величина. Отже, може бути випадковою змінною можливих результатів клінічного випробування, якщо суб'єкт приймає досліджуваний препарат, а може бути випадковою змінною, якщо він приймає плацебо. Причинний ефект - різниця між та . Якщо насправді$Y_1$$Y_2$$Y_1$$Y_2$$Y_1 = Y_2$, можна сказати, що лікування не має ефекту. В іншому випадку можна сказати, що стан лікування викликає результат.

Причинно-наслідкові зв’язки між змінними можуть бути також представлені спрямованими ацилічними графіками , які мають дуже різний аромат, але виявляються математично еквівалентними моделі Рубіна (Wasserman, 2004, розділ 17.8).

Васерман, Л. (2004). Вся статистика: стислий курс статистичного висновку . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрінгер. ISBN 978-0-387-40272-7.

$X$$Y$

1. $X$$Y$

Втручання - це хірургічна зміна змінної, яка не впливає на змінні, від яких залежить. Втручання були чітко формалізовані в структурних рівняннях та причинно-наслідкових графічних моделях, але, наскільки я знаю, немає визначення, яке не залежало б від конкретного модельного класу.

2. $Y$$X$

$X$$Y$

У сучасних підходах до причинного зв'язку втручання розглядається як примітивний об'єкт, який визначає причинно-наслідкові зв’язки (визначення 1). На мою думку, однак, втручання є відображенням і обов'язково узгоджується з динамікою моделювання.