Очікуване значення природного логарифму

22

Я знаю, що з константами , тому дано , це легко вирішити. Я також знаю, що ви не можете застосувати це, коли його нелінійна функція, як у цьому випадку , і для того, щоб вирішити це, я повинен зробити наближення з Тейлором. Отже, моє запитання - як я вирішую ?? чи я також можу наблизитися до Тейлора? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— Метт
джерело

4

Так, ви можете застосувати метод дельта в цьому випадку.

— Майкл Р. Черник

5

Ви також повинні заглянути в нерівність Дженсена.

— kjetil b halvorsen

27

У папері

YW Teh, D. Newman and M. Welling (2006), Алгоритм згортання варіаційного байєсівського виведення для латентного розподілу Діріхле , NIPS 2006 , 1353–1360.

розширення Тейлора другого порядку навколо використовується для наближення : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

Е [журнал (х)] \approx журнал (Е [х]) - \frac{V [х]}{2 Е [х]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

Це наближення, здається, працює досить добре для їх застосування.

Злегка змінивши це, щоб відповідати питанням підсумкових результатів, за лінійністю очікувань,

Е [журнал (1 + х)] \approx журнал (1 + Е [х]) - \frac{V [х]}{2 (1 + Е [х])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

Однак може статися, що або лівої, або правої не існує, а інша, і тому слід використовувати певну обережність при використанні цього наближення.

— користувач1149913
джерело

3

Цікаво, що це можна використовувати для отримання наближення до функції дигамми.

— ймовірністьлогічний

6

Крім того, якщо вам не потрібен точний вираз для , часто обмежене значення нерівності Дженсена досить добре: $\text{E}[\log(X + 1)]$

журнал [Е (Х) + 1] \geq Е [журнал (Х + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
джерело

просто хотів додати: якщо прямий розрахунок неможливий і ви дивитесь на одну змінну , нерівність Дженсена - це єдиний варіант, щоб отримати корисний результат. хоча запропоноване наближення Тейлора дійсно може працювати в практиці, немає теоретичного обгрунтування, яке могло б бути використане для мотивації вилучення решти термінів. (про що говорять: майте на увазі, що безмежно тейлоровий ряд ln (1 + x) у будь-якому випадку сходиться лише в радіусі | x | <1).

X

$X$

— chRrr

Я думаю, що це повинно бути оскільки увігнутий.

\geq

$\ge$

\log

$\log$

— Глибокий Північ

5

Припустимо, що має щільність ймовірності . Перш ніж почати наближення, пам’ятайте, що для будь-якої вимірюваної функції ви можете довести, що в тому сенсі, що якщо перший інтеграл існує, то і другий, і вони мають однакове значення. $X$ $f_X$ $g$

Е [г (Х)] = \int г (Х) г П = \int_{- \infty}^{\infty} г (х) f_{Х} (х) г х,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— Дзен
джерело

1

Якщо другий інтеграл існує. Це не потрібно. Візьмемо розподіл Коші і .

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

— mpiktas

Я додав би другий шар педантизму, кажучи, що вам потрібен щоб очікування було чітко визначено.

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

— ймовірністьлогічний

2

@mpiktas - Це очікування насправді існує, але воно нескінченне. Кращий приклад - для розподілу Коші. Це очікування залежить від того, наскільки нижня і верхня межі інтеграції прагнуть до нескінченності.

g (x) = x

$g(x)=x$

— ймовірністьлогічний

2

@prob: Ні, ця умова вам не потрібна в першому коментарі, і навіть у ситуації, яка може бути дуже актуальною для цього питання! (+1 до вашого другого коментаря, але це було те, що я мав на увазі також прокоментувати.)

— кардинал

2

@prob: Це достатньо , але якщо порівняти перший коментар з другим, ви побачите, чому це не потрібно ! :-)

— кардинал

4

Є два звичайних підходи:

$X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
Як ви підказуєте, якщо ви знаєте перші кілька моментів, ви можете обчислити наближення Тейлора.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело