Аналіз потужності для біноміальних даних, коли нульовою гіпотезою є, що

Я хотів би зробити аналіз потужності для одного зразка з біноміальних даних з , порівняно з , де - частка успіхів у сукупності. Якщо , я міг би використати або нормальне наближення до двочленного, або -test, але при ці обидва не вдається. Я хотів би знати, чи є спосіб зробити цей аналіз. Я дуже вдячний за будь-які пропозиції, коментарі чи посилання. Дуже дякую!$H_0: p = 0$$H_1: p = 0.001$$p$$0 < p <1$$\chi^2$$p =0$

У вас є однобічна, точна альтернативна гіпотеза де і . p 1 = 0,001 p 0 = $p_{1} > p_{0}$$p_{1} = 0.001$$p_{0} = 0$

• Перший крок - визначити поріг для кількості успіхів, такий, що ймовірність отримати принаймні успіхів у вибірці розміру дуже низька під нульовою гіпотезою (умовно ). У вашому випадку, , незалежно від вашого конкретного вибору для та .$c$$c$$n$$\alpha = 0.05$$c=1$$n \geqslant 1$$\alpha > 0$
• Другий крок - з’ясувати ймовірність досягти хоча б успіхів у вибірці розміру за альтернативної гіпотези - це ваша сила. Тут вам потрібен фіксований такий, щоб розподіл біномів було повністю вказано.$c$$n$$n$$\mathcal{B}(n, p_{1})$

Другий крок у R з :$n = 500$

> n  <- 500                 # sample size
> p1 <- 0.001               # success probability under alternative hypothesis
> cc <- 1                   # threshold
> sum(dbinom(cc:n, n, p1))  # power: probability for cc or more successes given p1
[1] 0.3936211

Щоб зрозуміти, як змінюється потужність залежно від розміру вибірки, ви можете намалювати функцію живлення:

nn   <- 10:2000                 # sample sizes
pow  <- 1-pbinom(cc-1, nn, p1)  # corresponding power
tStr <- expression(paste("Power for ", X>0, " given ", p[1]==0.001))
plot(nn, pow, type="l", xaxs="i", xlab="sample size", ylab="power",
     lwd=2, col="blue", main=tStr, cex.lab=1.4, cex.main=1.4)

Якщо ви хочете знати, який розмір вибірки потрібно досягти принаймні заздалегідь заданої потужності, ви можете використовувати значення потужності, обчислені вище. Скажіть, що вам потрібно потужність щонайменше .$0.5$

> powMin <- 0.5
> idx    <- which.min(abs(pow-powMin))  # index for value closest to 0.5
> nn[idx]     # sample size for that index
[1] 693

> pow[idx]    # power for that sample size
[1] 0.5000998

Тож вам потрібен розмір вибірки принаймні щоб досягти потужності .$693$$0.5$

Ви можете легко відповісти на це питання за допомогою pwrпакета в Р.

Вам потрібно буде визначити рівень значущості, потужність та розмір ефекту. Зазвичай рівень значущості встановлюється на 0,05, а потужність - на 0,8. Вища потужність вимагатиме більше спостережень. Нижчий рівень значущості зменшить потужність.

Розмір ефекту для пропорцій, використаних у цій упаковці, становить h Коена. Обрізання для невеликої години часто вважається рівним 0,20. Фактичне скорочення залежить від застосування та може бути меншим у вашому випадку. Менший h означає, що буде потрібно більше спостережень. Ви сказали, що ваша альтернатива . Це дуже мало$p = 0.001$

> ES.h(.001, 0)
[1] 0.0632561

Але ми все одно можемо продовжувати.

 > pwr.p.test(sig.level=0.05, power=.8, h = ES.h(.001, 0), alt="greater", n = NULL)

 proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

          h = 0.0632561
          n = 1545.124
  sig.level = 0.05
      power = 0.8
alternative = greater

Використовуючи ці значення, вам потрібно щонайменше 1546 спостережень.

У вашому конкретному випадку є просте точне рішення:

Відповідно до нульової гіпотези ви ніколи не повинні дотримуватися успіху. Отже, як тільки ви спостерігаєте один успіх, ви можете бути впевнені, що .$H_0: p=0$$p\neq0$

За альтернативою Кількість випробувань, необхідних для дотримання принаймні 1 успіху, випливає з геометричного розподілу. Отже, щоб отримати мінімальний розмір вибірки для досягнення потужності , потрібно знайти найменший k такий, що$H_1: p=0.001$$1-\beta$

Отже, при щоб отримати потужності, вам знадобиться принаймні 1610 зразків.$p=0.001$$80%$