Чи є якісь «езотеричні» статистичні тести з дуже низькою потужністю?

Фон

У інформатиці, математиці, а іноді й в інших галузях, "езотеричні" приклади можуть бути не лише розважальними, але й корисними для ілюстрації певних понять, наприклад:

Bogosort і Slowort - це дуже неефективні алгоритми сортування, які можна використовувати для розуміння властивостей алгоритмів, зокрема порівняно з іншими алгоритмами сортування.
Езотеричні мови програмування демонструють наскільки далекосяжне поняття мови програмування і допомагають оцінити добрі мови програмування.
Функція Вайєрштрасса та Діріхле в першу чергу знаходять застосування для ілюстрації певних помилок щодо поняття наступності.

В даний час я готую деякі вчення про використання тестів на гіпотези і думаю, що тест з дуже низькою потужністю (але ніяких інших недоліків) допоможе проілюструвати поняття статистичної потужності. (Звичайно, я все ж маю сам вирішити, чи даний приклад дидактично корисний для моєї аудиторії чи просто заплутаний.)

Актуальне запитання

Чи є якісь статистичні випробування з навмисно низькою потужністю, точніше:

Тест вписується в загальні рамки тестів гіпотез, тобто він працює з нульовою гіпотезою, має вимоги та повертає (правильне) значення p .
Він не призначений / запропонований для серйозного застосування.
Він має дуже низьку потужність (через навмисний недолік конструкції, а не через низький розмір зразка чи ефекту).

Якщо ви принципово можете стверджувати, що такий тест не може існувати, я також вважаю це вагомою відповіддю на моє запитання. Якщо, з іншого боку, існує безліч таких тестів, мене цікавить найбільш дидактично ефективний, тобто він повинен бути легкодоступним і мати вражаючий ефект.

Зауважте, що я не прошу загального вибору статистичних помилок (збирання вишні тощо) або подібних.

Що я знайшов поки що

Інтернет-пошуки для мене нічого не повернули.

Кожна спроба сконструювати щось подібне закінчувалася або в якомусь (корисному) існуючому тесті, або формат не є звичайним тестом. Наприклад, я подумав про тест, чи є у популяції позитивна медіана, яка повертається лише так, якщо всі вибірки є позитивними; але цей тест не повертає значення p і, отже, не вписується у звичайні рамки тестування. Якщо я просто зараховую позитивні та негативні ознаки як тестову статистику (і обчислюю відповідно значення p ), я закінчую тест знаків , який є розумним тестом.

hypothesis-testing teaching humor

— об. Wrzlprmft
джерело

Будучи більш математичними, "езотеричні" приклади (яких є багато), як правило, є конкретними контрприкладами до поширених непорозумінь; ряд підручників містять такі приклади. На сьогодні, ваше запитання - це питання типу "великого списку", і це занадто широко (хоча слід зазначити, що декілька користувачів зробили висновок, що питання є незрозумілим); якщо ви можете уточнити своє питання та звузити його обсяг, він може краще підходити до сайту.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Мала потужність порівняно з чим? Леманн навів приклад узагальненого тесту на коефіцієнт ймовірності, який мав меншу потужність у будь-якій альтернативній гіпотезі, ніж під нульовою.

— Scortchi

Будь-який нерозумний оцінювач, до якого ви застосовуєте Рао-Блеквелізацію, може бути використаний в якості тестової статистики. Наприклад, є перше спостереження у вибірці, яке використовується як оцінювач середнього. Коли Rao-Blackwellized, ви отримуєте середнє значення вибірки. Мені довелося робити багато таких вправ на уроці. У будь-якому разі ця статистика може бути використана замість вибіркового значення в чомусь на зразок

тесту. Але ні, я нічого не можу придумати безпосередньо у формі, яку ви шукаєте, або я б писав відповідь, а не коментар. Але має бути щось, що ілюструє невдачу загального методу побудови тесту.

t

$t$

— користувач54038

Я розкопаю папір Леманна, коли буду за комп’ютером. Потужність тесту під нулем - це лише розмір тесту.

— Scortchi

Приклад тесту, використовуваного в класі, в якому я був студентом (багато років тому), був "закатати справедливу 20-сторону штампу і відхилити, якщо прокрутити 1" (як частина обговорення кривих потужності). Це, звичайно, повністю ігнорує дані, але є "правильним" тестом, оскільки він не має вище бажаного показника помилок типу I (який становив 5% у контексті наведеного прикладу).

— Glen_b -Встановіть Моніку

Відповіді:

Дослідження лемми Неймана – Пірсона (доказ у Гейссері (2006), способи параметричного статистичного умовиводу , гл. 4.4):

Е ϕ (Х) = α

$\operatorname{E}\phi(X)=\alpha$

ϕ (х) = {\begin{cases} 0 & коли f_{0} (х) < к f_{1} (х) \\ 1 & коли f_{0} (х) > к f_{1} (х) \end{cases}

$\phi(x) = \begin{cases} 0\ & \text{when $f_0(x) < kf_1(x)$} \\ 1\ & \text{when $f_0(x) > kf_1(x)$} \end{cases}$ визначає найменш потужний рівень-

α

$\alpha$ Випробування,

ϕ

$\phi$ , нульова гіпотеза

H_{0} :

$H_0:$ щільність

f_{0}

$f_0$ проти

H_{1} :

$H_1:$ щільність

f_{1}

$f_1$ з даних

x

$x$ .

З цього результату можна отримати рівномірно найменш потужний, локально найменш потужний, рівномірно найменш потужний подібний, і найменш потужний "абсолютно упереджений" тести (я маю на увазі ті, які мають меншу потужність за будь-якої альтернативи, ніж під нульовою). Якщо у вас вже є рівномірно найпотужніший, & c. тест, просто помножте свою тестову статистику на -1, щоб підтримувати розподіл пробного простору, який він викликає, змінюючи впорядкованість розділів.

Можливо, як підказує @ user54038, "невдача загального методу побудови тесту" може бути цікавішою. Леманн (1950), "Деякі принципи теорії тестування статистичних гіпотез", Енн. Математика. Статист. , 21 , 1, приписує наступний приклад Штейна:

Нехай $X$ - випадкова величина, здатна приймати значення $0, \pm 1, \pm 2$ з імовірностями, як зазначено:

$\begin{array}{rccccc} - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ Гіпотеза Н : & \frac{α}{2} & \frac{α}{2} & \frac{1}{2} - α & \frac{1}{2} - α & α \\ Альтернативи: & p С & (1 - p) С & \frac{1 - С}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & \frac{1 - С}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & α \frac{1 - c}{1 - α} \end{array}$ $\begin{array}{r c c c c c} & -2 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ \hline \text{Hypothesis $H$:} & \frac{\alpha}{2} & \frac{\alpha}{2} & \frac{1}{2} - \alpha & \frac{1}{2} - \alpha & \alpha\\ \hline \text{Alternatives:} & pC & (1-p)C & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \alpha\frac{1-c}{1-\alpha}\\ \end{array}$ Тут $\alpha$ , $C$ - константи $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$ , $\frac{\alpha}{2-\alpha}< C <\alpha$ , а $p$ - інтервал $[0,1]$ .

Гіпотезу $H$ бажано перевірити на рівні значущості $\alpha$ . Тест на коефіцієнт ймовірності відхиляє, коли $X=\pm2$ , а отже, його потужність становить $C$ проти кожної альтернативи. Оскільки $C<\alpha$ , цей тест буквально гірший, ніж марний, тому що випробування потужністю $\alpha$ можна отримати, не дотримуючись $X$ , просто за допомогою таблиці випадкових чисел.

Зверніть увагу, що він розглядає узагальнений тест правдоподібності, при цьому $p$ в ролі неприємного параметра повинен бути максимізований. Так що, коли $X=-2$ , або $X=2$ , , або , відповідно, і відношення правдоподібності доходить до $\hat p=1$ $\hat p=0$ $\frac{2C}{\alpha}$ в будь-якому випадку; для будь-якого іншого значення $X$ це нижнє значення $\frac{1-C}{1-\alpha}$ .

— об
джерело

(Пов'язане з коментарем @Scortchi)

Припустимо, $X \sim N(\mu, 1)$ і ми хочемо перевірити гіпотезу

\begin{aligned} Н_{0} & : мк = 0 \\ Н_{1} & : мк \neq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} H_0&: \mu = 0 \\ H_1&: \mu \neq 0 \end{align*}$

$Z \sim Bernoulli(p)$ $p$ $\alpha$ $p \in [\alpha, 1]$

R = {(Х, Z) | z = 1 \land | х | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})}

$R = \left\{(X, Z) \ | \ z = 1 \ \wedge |x| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right) \right\}$

$\alpha$

\begin{aligned} П (Х \in R | мк = 0) & = П (Z = 1, | Х | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = П (Z = 1) П (| Х | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = p \frac{α}{p} = α \end{aligned}

$\begin{align*} P(X\in R \ | \ \mu=0) &= P\left(Z=1 \ , \ |X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= P(Z=1)P\left(|X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= p\frac{\alpha}{p} = \alpha \end{align*}$

$p$ $(x, z) = (1000000, 0)$ $p=\alpha$ $X$ $\alpha$

$Z$

— об
джерело

(+1) Тісно пов'язані, оскільки маючи одновимірну допоміжну статистику

, ви можете відмовитися від монети, відпустивши

S

$S$

Z = 1 (S < F_{S}^{- 1} (p))

$Z=\boldsymbol{1}(S<F_S^{-1}(p))$

F_{S} (\cdot)

$F_S(\cdot)$

S

$S$