Ймовірність

9

Припустимо, і є незалежними геометричними випадковими змінними з параметром . Яка ймовірність того, що ? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

Я збентежений з цього питання, тому що нам нічого не кажуть про $X_1$ та $X_2$ окрім як вони геометричні. Хіба це не буде $50\%$ оскільки $X_1$ та $X_2$ можуть бути будь-якими в діапазоні?

EDIT: Нова спроба

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ і $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Тому $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
Додавання $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ до цього я отримую $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

Це правильно?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
джерело

3

Будь ласка, додайте тег "самонавчання".

— Впертий

1

На насправді , тому що X1і X2дискретні змінні рівність робить речі трохи менш очевидним.

— usεr11852

13

Це не може бути оскільки $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

Один підхід:

Розглянемо три події та , які розділяють простір зразка. $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

Між першими двома є очевидний зв’язок. Напишіть вираз для третього і спростіть. Звідси вирішіть питання.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Я відредагував свій пост з новою відповіддю. Не могли б ви подивитись і побачити, чи правильно це?

— IrCa

1

Так, ваші відповіді виглядають правильно. Альтернативним методом (використовуючи аналогічну ідею) було б зазначити, що (знову ж таки, використовуючи симетрію / і ).

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b -Встановіть Моніку

6

Ваша відповідь за пропозицією Глена правильна. Ще один, менш елегантний спосіб - це лише умова:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Це дасть вам той самий після обробки двох геометричних рядів. Шлях Глена краще. $1/(2-p)$

— Дзен
джерело

4

зауважте - ваш спосіб краще застосовувати до нових проблем, я думаю. Тому що він заснований на перших принципах. Хитрість / інтуїтон з відповіді glen_b зазвичай виникає після того, як проблема вирішена на ваш шлях

— ймовірність

3

@probabilityislogic Я поділяю ваш ентузіазм щодо виведення з "перших принципів". Однак для сучасного математика пошук і використання симетрії є ще більш фундаментальним, ніж перші принципи (визначення), на які ви посилаєтесь: ми можемо назвати це метапринципом математики. Це набагато більше, ніж просто "хитрість".

— whuber