Чи є приклади поширеної змінної, яка є * не * завдяки теоремі центрального граничного граничного значення?

Нормальний розподіл здається неінтуїтивним, поки ви не вивчите CLT, що пояснює, чому він так поширений у реальному житті. Але чи виникає це колись як "природне" розподіл на якусь кількість?

normal-distribution central-limit-theorem

— садок
джерело

Фізична теорія дифузії, наскільки це застосовна для будь-якої системи, передбачає нормальне розподіл величин (наприклад, температури чи концентрації), що виникають у точці. Дійсно, дуже багато систем є дифузійними (ціни на опціони, перевезення частинок в однорідних середовищах тощо), що дозволяє припустити, що приклади є рясними, якщо припустити, що одна з них не є такою наївною, щоб припустити, що нормальний розподіл повинен точно витримувати нереально великі або малі значення - це було б непорозуміння всієї фізичної теорії.

— whuber

Нормальний розподіл здається неінтуїтивним, поки ви не дізнаєтесь, що він максимізує ентропію під обмеженням фіксованої дисперсії.

— leonbloy

Відповіді:

Наскільки я думаю, це може бути філософським питанням настільки ж статистичним.

Багато природних явищ приблизно нормально поширені. Можна стверджувати, чи може бути причиною цього щось подібне до CLT:

Висота людей може розглядатися як сума багатьох менших причин (можливо, незалежних, малоймовірно однаково розподілених): довжини різних кісток, або результатів різних експресій генів, або результатів багатьох дієтичних впливів, або деякої комбінації всього перерахованого .
Тестові бали можуть розглядатися як сума балів у багатьох індивідуальних тестових питаннях (можливо, однаково розподілених, навряд чи повністю незалежних).
Відстань частинки проходить в одному вимірі в результаті руху броунівської рідини: рух може розглядатися абстрактно як випадкова хода, що виникає в результаті випадкових попадань молекули IID.

$(0, 2\pi).$ яку ви можете google.] Однак звичайні координати x і y можуть розглядатися як сума безлічі невеликих неточностей у націлюванні, що може виправдати механізм, пов'язаний з CLT, у фоновому режимі.

В історичному сенсі широке використання нормальних (гауссових) розподілів замість подвійних експоненціальних (Лапласа) розподілів для моделювання астрономічних спостережень може бути частково обумовлене CLT. У перші дні моделювання помилок таких спостережень між Гауссом та Лапласом виникали дебати , кожен сперечаючись за власне улюблене розповсюдження. З різних причин нормальна модель виграла. Можна стверджувати, що однією з причин можливого успіху нормального розподілу була математична зручність, заснована на нормальних межах CLT. Це здається правдою навіть тоді, коли незрозуміло, яка сім'я дистрибуторів забезпечує найкращу відповідність. (Навіть зараз є астрономи, які вважають, що "найкраще спостереження"зроблений ретельним шанованим астрономом, мабуть, буде кращим, ніж середній показник багатьох спостережень, зроблених, мабуть, менш обдарованими спостерігачами. Насправді вони воліють взагалі ніяких втручань статистиків.)

— Брюсет
джерело

Так. Виправлення друкарських помилок все ще. Дякуємо, що помітили цю. Виправлена та сама помилка у «тестових балах».

— BruceET

-3

Багато звичайних змінних зазвичай розподіляються. Висота людини? Розмір колоній тварин?

— Щасливі
джерело

@Happy Насправді жоден приклад, наведений тут, зазвичай не розподіляється, оскільки підтримка нормального розподілу - нескінченність до + нескінченності, а наведені приклади ніколи не можуть бути нульовими або меншими. У кожному випадку звичайний розподіл може бути корисним наближенням, але не, якщо вас цікавили хвости розподілу.

— JeremyC

Людина висота є результатом суми (приблизно) незалежних генів, так що вони на насправді є в зв'язку з ЦПТ.

— садок

@ArtemMavrin: отримання негативної висоти було б щось на зразок 8+ стандартних відхилень. Якщо один заперечує, що нормальне наближення не є дійсним, оскільки воно виставляє нульову ймовірнісну масу понад 8 сд, ви також можете скаржитися на те, що дійсно нормально розподілене значення є нераціональним з ймовірністю 1, але всі наші вимірювання є раціональними числами.

— Кліф АВ

@ArtemMavrin: ну, якщо питання є якоюсь річчю , яка нормально розподіляється, ця відповідь проста: ні. Навіть навіть rnorm(1). Те саме з усіма дистрибутивами, крім багаточленних.

— Кліф АВ

n \to \infty

$n\to\infty$