Як перевірити, чи

Припустимо, у мене є три незалежні групи із середнім значенням $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ відповідно.

Як я можу перевірити, чи $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ або не використовує $n_1,~n_2,~n_3$ зразки з кожної групи?

Я хочу знати загальну методологію, а не детальний розрахунок. Я не міг зрозуміти, як поставити свою гіпотезу$H_0$ і $H_1$.

У статистиці ви не можете перевірити, чи є "X правдивим чи ні". Можна лише спробувати знайти докази того, що нульова гіпотеза помилкова.

Скажімо, ваша нульова гіпотеза така

$$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$$ Припустимо також, що у вас є спосіб оцінки вектора $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$. Щоб утримати речі, просто припускайте, що у вас є оцінювач $$x \sim N(\mu, \Sigma),$$ де $\Sigma$ є $3 \times 3$коваріатна матриця. Ми можемо переписати нульову гіпотезу як $$A \mu < 0,$$ де $$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$$ Це показує, що ваша нульова гіпотеза може бути виражена як обмеження нерівності вектора $A \mu$. Природний оцінювач$A\mu$ дається $$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$$ Тепер ви можете використовувати рамку для тестування обмежень нерівності для звичайних векторів, наведених у:

Кудо, Акіо (1963). "Багатоваріантний аналог однобічного тесту". В: Біометріка 50.3 / 4, с. 403–418.

Цей тест також буде працювати, якщо припущення про нормальність дотримується лише приблизно ("асимптотично"). Наприклад, це спрацює, якщо ви зможете намалювати зразки засобів із груп. Якщо ви малюєте зразки розміру$n_1, n_2, n_3$ і якщо ви можете малювати незалежно від груп, то $\Sigma$ є діагональною матрицею з діагоналлю

$$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$$ де $\sigma_k^2$ - дисперсія в групі $k = 1, 2, 3$. У додатку ви можете використовувати вибіркову дисперсію замість невідомої дисперсії сукупності, не змінюючи властивостей тесту.

Якщо, з іншого боку, ваша альтернативна гіпотеза

$$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$$ тоді ваша нульова гіпотеза стає $$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$$ Це не дуже оперативно. Пам'ятайте, що нашу нову альтернативну гіпотезу можна записати як$H_1: A\mu <0$ так що $$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$$ Я не знаю, чи існує якийсь спеціалізований тест для цього, але ви точно можете спробувати якусь стратегію на основі послідовного тестування. Пам'ятайте, що ви намагаєтесь знайти докази проти нуля. Тож ви можете спершу випробувати $$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$$ і потім $$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$$ Якщо ви відкидаєте обидва рази, то ви знайшли докази того $H_0$ неправдиво, і ви відкидаєте $H_0$. Якщо ви цього не зробите, то не відмовляєтесь$H_0$. Оскільки ви тестуєте кілька разів, вам доведеться відрегулювати номінальний рівень субтесту. Ви можете скористатися корекцією Бонферроні або визначити точну корекцію (оскільки ви знаєте$\Sigma$).

Ще один спосіб побудови тесту для $H_0^2$ це зауважити

$$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$$ Це означає використання $\max Ax$як тестова статистика. Тест матиме нестандартний розподіл під нулем, але відповідне критичне значення все одно має бути досить легко обчислити.

Відповідь, надана @ andreas-dzemski, є правильною лише в тому випадку, якщо ми знаємо, що дані зазвичай поширюються.

Якщо ми не знаємо розподілу, я вважаю, що було б краще провести непараметричний тест. У цьому випадку найпростішим видається тест на перестановку. Це книга про цю тему, і це приємне онлайн-пояснення. Нижче я включаю код R для обчислення цього тесту.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))