Як робити прогнози на часовий ряд?

Я не такий знайомий з аналізом даних часових рядів. Однак у мене є те, що, на мою думку, є простим завданням передбачення.

У мене є близько п'яти років даних із загального процесу генерації. Кожен рік представляє монотонно зростаючу функцію з нелінійною складовою. У мене підраховується щотижня протягом циклу 40 тижнів на кожен рік. Процес починається, функція починається з нуля, доволі швидко зростає протягом першої половини функції, сповільнюючись над другою половиною до вирівнювання протягом останніх п’яти тижнів. Процес узгоджується протягом багатьох років з невеликими різницями у швидкості зміни та обсязі в сегментах з року в рік.

$$y_{1}=\{0, N_{t1}, N_{t2}, ... N_{t39}, N_{t40}\}$$

$$\vdots$$

$$y_{5}=\{0, N_{t1}, N_{t2}, ... N_{t39}, N_{t40}\}$$

Де $N_{tx}$ дорівнює підрахунку часу x.

Мета - взяти $N$ у $tx$ (або краще) $t0$ до $tx$або нахил до цієї точки) і передбачити значення $N$ у $t40$. Наприклад, якщо$N_{t10}$ становить 5000, яка очікувана величина $N_{t40}$за той рік. Отже, питання полягає в тому, як би ви моделювали такі дані? Це досить просто узагальнити та візуалізувати. Але я хотів би, щоб модель полегшила прогнози та включила міру помилок.

Напевно, найпростіший підхід - це, як запропонував Енді У., використовувати сезонну універсальну модель часових рядів. Якщо ви використовуєте R, спробуйте auto.arima()або ets()з пакета прогнозу .

Або має працювати нормально, але загальний метод часових рядів не використовує всю надану інформацію. Зокрема, здається, що ви знаєте форму кривої в кожному році, тому може бути краще використовувати цю інформацію, моделюючи дані кожного року відповідно. Далі йде пропозиція, яка намагається включити цю інформацію.

Здається, якась сигмоїдальна крива зробить трюк. наприклад, зміщена логістика:

$$\begin{equation} f_{t,j} = \frac{r_te^{a_t(j-b_t)}}{1+e^{a_t(j-b_t)}} \end{equation}$$ за рік $t$ і тиждень $j$ де $a_t$, $b_t$ і $r_t$ - це параметри, що підлягають оцінці. $r_t$ - це асимптотичний максимум, $a_t$ контролює швидкість збільшення і $b_t$ є серединою, коли $f_{t,j}=r_t/2$. (Ще один параметр знадобиться для того, щоб дозволити асиметрію, яку ви описуєте, завдяки чому швидкість збільшення до часу$b_t$ швидше, ніж після цього $b_t$. Найпростіший спосіб зробити це - дозволити$a_t$ приймати різні значення до та після часу $b_t$.)

Параметри можна оцінити, використовуючи найменші квадрати на кожен рік. Параметри кожного часового ряду форми:${a_1,\dots,a_n}$, ${b_1,\dots,b_n}$ і ${r_1,\dots,r_n}$. Їх можна прогнозувати за допомогою стандартних методів часових рядів, хоча з$n=5$ви, ймовірно, не можете зробити багато, крім використання середнього значення для кожної серії для створення прогнозів. Потім, для 6 року, оцінка вартості за тиждень$j$ просто $\hat{f}(6,j)$ де прогнози $a_6$, $b_6$ і $r_6$ використовуються.

Після того, як дані почнуть спостерігатися протягом 6 року, ви хочете оновити цю оцінку. Отримавши кожне нове спостереження, оцініть сигмоїдальну криву за даними 6 року (для початку вам знадобиться принаймні три спостереження, оскільки є три параметри). Потім візьміть середньозважене значення прогнозів, отриманих з використанням даних до 5 року, і прогноз, отриманий з використанням лише даних 6 року, де ваги рівні$(40-t)/36$ і $(t-4)/36$відповідно. Це дуже спеціально, і я впевнений, що це можна зробити більш об'єктивним, розмістивши його в контексті більшої стохастичної моделі. Тим не менш, це, ймовірно, спрацює нормально для ваших цілей.

Ваше запитання - це, по суті, те, що робить моделювання ARIMA Box Jenkins (ваші щорічні цикли називаються сезонними компонентами). Окрім пошуку матеріалів самостійно, я б запропонував

Прикладний аналіз часових рядів для соціальних наук 1980 р. Макклеарі; Р. А. Сіно; EE Meidinger; Д Макдоуал

Хоча я можу подумати про розумні причини, чому ви хочете прогнозувати подальше майбутнє (а отже, оцінювати помилку при цьому), на практиці це часто буває дуже складно. Якщо у вас дуже сильні сезонні компоненти, це буде більш реально. Інакше ваші оцінки, швидше за все, досягнуть рівноваги за порівняно невеликі майбутні періоди часу.

Якщо ви плануєте використовувати R для відповідності вашим моделям, ви, мабуть, перегляньте веб-сайт Роб Хайндмана (сподіваємось, він дасть вам кращі поради, ніж я!)

у вас є 5 років даних і 40 спостережень на рік. Чому б ви не розмістили їх в Інтернеті і не дозволите нам реально відповісти на це на нулі, а не філософствувати на висоті 500 миль. Я з нетерпінням чекаю на цифри. Ми бачили подібні дані, наприклад, кількість клієнтів, які торгують у тиждень, де діють щоденно, щотижня. Серія щороку починається з нуля і накопичується до граничного значення.